专题二 第三讲
一、选择题
1．(2014·新课标Ⅱ理，3)设向量a、b满足|a＋b|＝10，|a－b|＝6，则a·b＝( ) A．1 C．3 [答案] A
[解析] 本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴a2＋b2＋2ab＝10，a2＋b2－2ab＝6. 联立方程解得ab＝1，故选A.
2．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝( ) A.5 C．25 [答案] B
[解析] 本题考查向量的模及垂直问题． ∵a⊥b，∴a·b＝0，∴x－2＝0，∴x＝2， ∴a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝10.
3．(2014·福建理，8)在下列向量组中，可以把向量a＝(3,2)表示出来的是( ) A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2) C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3) [答案] B
[解析] 一个平面内任意不共线的两个向量都可以作为平面的基底，它能表示出平面内的其它向量．A中，e1＝0，且e2与a不共线；C、D中的两个向量都是共线向量且不与a共线，故表示不出a.B中的两个向量不共线，可以作为平面的一组基底，故可表示出a，
4．(文)如果不共线向量a、b满足2|a|＝|b|，那么向量2a＋b与2a－b的夹角为( ) π
A. 6π
C. 2[答案] C
[解析] ∵(2a＋b)·(2a－b)＝4|a|2－|b|2＝0， ∴(2a＋b)⊥(2a－b)，∴选C.
- 1 -
B．2 D．5
B.10 D．10
π
B. 32πD. 3
(理)若两个非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a－b的夹角是( ) πA. 62πC. 3[答案] C
－2a212π
[解析] 解法1：由条件可知，a·b＝0，|b|＝3|a|，则cosθ＝2＝－?θ＝. 4a232π
解法2：由向量运算的几何意义，作图可求得a＋b与a－b的夹角为. 3
πB. 35πD. 6
→
5．(2014·新课标Ⅰ文，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC、CA、AB的中点，则EB＋→
FC＝( )
→A.AD →C.BC [答案] A [解析] 如图，
1→B.AD 21→D.BC 2
→→EB＋FC
1→→1→→＝－(BA＋BC)－(CB＋CA)
221→→1→→＝－(BA＋CA)＝(AB＋AC)
22→＝AD. 选A.
6．若a、b、c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为( ) A.2－1
B．1
- 2 -
C.2 [答案] B
D．2
[解析] |a＋b－c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b－2a·c－2b·c＝3－2(a·c＋b·c) (a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－b·c＋|c|2 ＝1－(a·c＋b·c)≤0，
∴|a＋b－c|2≤1，∴|a＋b－c|max＝1. 二、填空题
→→→→→→7．(文)(2014·湖北文，12)若向量OA＝(1，－3)，|OA|＝|OB|，OA·OB＝0，则|AB|＝________. [答案] 25
→→→→→[解析] |OA|＝|OB|，OA·OB＝0?△AOB是直角边为|OA|＝10的等腰直角三角形，AB是→
斜边，所以|AB|＝25.解向量试题有代数和几何两种思路，若能利用向量的几何意义，则可以避免复杂的代数运算．
1
(理)(2014·江西理，14)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2
3与b＝3e1－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
[答案]
22
3
[解析] 本题考查平面向量数量积的性质及运算．
12
依题意e1·e2＝|e1||e2|cosα＝，∴|a|2＝9e2e2＋4e2＝9，∴|a|＝3， 1－12e1·3|b|2＝9e2e2＋e2b＝9e2e2＋2e21－6e1·2＝8，a·1－9e1·2＝8，∴|b|＝22， cosβ＝
a·b822
＝＝. |a|·|b|3×223
→→8．(2013·重庆文，14)若OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.
[答案] 4
[解析] 本题考查向量的数量积及坐标运算．
→→→→→
∵OA＝(－3,1)，OB＝(－2，k)，∴AB＝OB－OA＝(1，k－1)． →→→→
由题意知OA⊥AB，∴OA·AB＝0即(－3,1)·(1，k－1)＝0. ∴－3＋k－1＝0，∴k＝4.
9．已知向量a＝(1,0)，b＝(1,1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________； (2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
- 3 -
3101025[答案] (1)(，) (2)－
10105
[解析] 本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．(1)2a＋b＝2(1,0)＋(1,1)31010
＝(3,1)，其单位向量为(，)，
1010
a·?b－3a?
(2)∵b－3a＝(－2,1)，|a|＝1，|b－3a|＝5，a·(b－3a)＝－2，∴cos〈a，b－3a〉＝
|a|·|b－3a|25
＝－.
5
10．如图所示，A、B、C是圆O上的三点，线段CO的延长线与线段BA的延长线交于圆→→→
O外的点D，若OC＝mOA＋nOB，则m＋n的取值范围是________．
[答案] (－1,0)
→→
[解析] 根据题意知，线段CO的延长线与线段BA的延长线的交点为D，则OD＝tOC. ∵D在圆外，∴t<－1，
→→→→→
又D、A、B共线，∴存在λ、μ，使得OD＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1，又由已知，OC＝mOA→＋nOB，
→→→→∴tmOA＋tnOB＝λOA＋μOB， 1
∴m＋n＝，故m＋n∈(－1,0).
t
一、选择题
3
11．设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝，|a＋b|＝22，则|b|等于( )
21A. 23C. 2[答案] B
[解析] ∵|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝4＋3＋|b|2＝8，∴|b|＝1.
→
|BC|→→→
12．(文)已知平面上不共线的四点O，A，B，C.若OA＋2OC＝3OB，则的值为( )
→|AB|
- 4 -
B．1 D．2
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