.
433535)到xoy平面的距离是
5566438585 点(?,?,)到xoy平面的距离是
55664335比较得：所求点是(,,)
556其中：点(,,xy23.证明极限lim2不存在
x?0x?y4y?0证明：当(x, y)沿着曲线y=x趋于(0, 0)时，
2y41xy2lim?lim2＝ y?0y4?y4x?0x?y42y?0当(x, y)沿着曲线2y=x趋于(0, 0)时，
22y42xy2lim?lim2＝ y?04y4?y4x?0x?y45y?0xy2所以，极限lim2不存在
x?0x?y4y?0?2z4.设z=xf (xy, e), 求
?x?yy解：
?z'=f?f1?xy ?x?2z'''''' =2xf1?eyf2?x2yf11?xyeyf12
?x?y5. 求曲线x= t-sint, y=1-cost, z=4sin方程
t?, 在点M(?1, 1, 22)处的切线及法平面22t'''解：因为xt=1-cost, yt=sint, zt=2cos
2而点M(
???1, 1, 22)所对应的参数为t= 22?点M的切向量T={1, 1, 2}
x?1?故点M处的切线方程为
?2?y?1?z?22 112 . . .
.
点M处法平面方程为: x+y+2z=
?2?4
6. 求曲面ez?z?xy?3在点(2, 1, 0)处的切平面方程及法线方程 解：令F(x, y, z)= ez?z?xy?3
则Fx?y,Fy?x,Fz?e?1
故Fx(2,1,0)?1,Fy(2,1,0)?2,Fz(2,1,0)?0 因此:点(2, 1, 0)处的切平面方程为x-2+2(y-1)=0,即：x+2y-4=0
''''''xx?2y?1??? 点(2, 1, 0)处的法线方程为?12
?z?0?7. 已知z=ysin(x+y),求全微分dz及梯度gradz 解：
?z?z?sin(x?y)?ycos(x?y) ?ycos(x?y)， ?y?x 故：dz=[ycos(x+y)]dx+[sin(x+y)+ycos(x+y)]dy
gradz=( ycos(x+y), sin(x+y)+ycos(x+y)) 8. 设直线l:??x?y?b?0在平面?上，而平面?与曲面z?x2?y2相切于点
?x?ay?z?3?0M(1, -2, 5), 求a,b之值
解：点M处曲面的法向量n={2x, 2y, -1}M={2,-4,-1} 点M处切平面方程为2(x-1)-4(y+2)-(z-5)=0
即: 2x-4y-z-5=0, 此即平面?之方程 由直线l可得y=-x-b, z=x-a(x+b)-3 代入?得: (5+a)x+4b+ab-2=0
解得: a=-5, b=-2
x?2z9.设函数z=f (u, v), 则u, v具有二阶连续偏导数，其中u=3x+2y, v=， 求
y?x?y解：
?z'1'=3f1?f2
y?xx23x1?2z'' =6f11?f22''?(?)f12''?f2'
?x?yyy2y3y2x6y610.lim是否存在？如果存在，等于多少？如果不存在，说明理由。
(x,y)?(0,0)(x2?y4)5解：不存在。
. . .
.
x6y6x9x6y6?lim???。 lim2?0。 lim245x?0(2x2)5x?0(x?y4)5x?0,y2?x(x?y)y?011.求u关于x,y,z的一阶偏导数：u?x 解：
zzz?u?u?u?zyz?1xylnx ?yzxy?1。 ?xyyzlnxlny ?y?x?zyz12、说明函数在何时取得极值，并求出该极值：z?(x?y?1) 解：函数定义域R2。因为z?0，故x?y?1?0时极小；无极大。
2??z?2(x?y?1)?0???x 解方程组?，可知函数驻点分布在直线x?y?1?0上。
??z??2(x?y?1)?0???y对于此直线上的点都有z?0。但是z?0恒成立。所以函数在直线x?y?1?0上的各点取得极小值z?0。
13.
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x22y =
2解：
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)x2222y(x,y)?(0,0)lim2ex22yln(x2?y2)
而xyln(x?y)?212x?y2?ln(x2?y2) ?4120。故原式=e?1 (x?y2)2ln(x2?y2)?0，
?x,y??(0,0)4lim14.求u的一阶全微分：u?z
x2?y2解：du??2zdz(xdx?ydy)? 22222(x?y)x?y?x?tx?2在点M（1，2，-2）沿曲线?y?2t在此点的切线方向上的
x2?y2?z2?z??2t4?15、求函数u?方向导数。
?u解：??xy2?z2(x2?y2?z)322，
?u???yxy(x2?y2?z)322，
. . .
.
?u???zxz(x2?y2?z)322。
822,?, 272727148 曲线在该点切线方向余弦为,,?。
999在点（1，2，-2）它们的值分别是方向导数为
?u?l?M81242816g?(?)g?g(?)?? 27927927924316.
sin(xy)
(x,y)?(0,a)xlimsin(xy)sin(xy)gy=a =lim(x,y)?(0,a)(x,y)?(0,a)xyx解：
lim17.求由下式决定的隐函数z关于x和y的一阶偏导数：x?y?z?e解：等式两端对x求偏导数，得1?故
?(x?y?z)。
?z?z?e?(x?y?z)(?1?) ?x?x?z?z??1。利用对称性可得??1
?y?x2218.用拉格朗日法求条件极值：z?x?y,解：设F(x,y)?x?y??(?22xy??1(a?0,b?0) abxay?1)，解方程组 b??F1?2x???0??xa?1??F?2y???0 ?b??y?xy???1?ab2a2b2ab2a2b,x?2,y?2 可得???2。
a?b2a?b2a?b2由于当x??或y??时都有z???。故函数只能在有限处取得极小值（最小）值：
ab2a2ba2b2,y?2当x?2时，函数取得极小（最小）值z?2 222a?ba?ba?b1?x2y?1sin(xy). 19.求极限lim32x?0xyy?0 . . .
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