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1?x2y?1sin(xy)解：原式?lim 2x?0xyxyy?0(1?x2y?1)(1?x2y?1)sin(xy)?limx?0xyx2y(1?x2y?1)y?0?lim?x?0y?0(2分)
sin(xy)1?x2y?1xy(2分).1(1分)??12?2z20.设z?f(x?y,xy)，求.
?x?y22解：
?z?f1'?2x?f2'?y?2xf1'?yf2',(2分) ?x?2z?2x[f11''?(?2y)?f12''?x]?f2'?y[f21''?(?2y)?f22''?x] ?x?y22 ??4xyf11''?2xf12''?f2'?2yf21''?xyf22''(3分).
21. 求抛物面z?x?y到平面x?y?z?1?0的最近距离。
解：设M(x,y,z)在z?x?y上，M到x?y?z?1?0的距离为d，则
2222d?|x?y?z?1|(1分),
3(x?y?z?1)2d?.
32记L(x,y,z,?)?(x?y?z?1)??(x?y?z)，
222?Lx?2(x?y?z?1)?2?x?0?L?2(x?y?z?1)?2?y?0?y(2分) 令??Lz?2(x?y?z?1)???0?L?x2?y2?z?0??解得：x?y??12,z?所以 d?12(2分).
11111|????1|?322223(2分).
. . .
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22.求曲面z?x?y上与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程。 解：曲面z?x?y的切平面的法向量为
n1?{2x,2y,?1}(2分)， 平面2x?4y?z?0的法向量为 n2?{2,4,?1}.
要使z?x?y切平面与平面2x?4y?z?0平行，必有n1//n2，即
2222222x2y?1??(2分). 24?1(2分).
解之得，x?1,y?2, 从而z?5因此为2(x?1)?4(y?2)?(z?5)?0, 23． 函数z?arctany,求dz|(1,1). x12解：因为
?z??x(1,1)1yy(?)??y2x2x2?y21?2x(1,1)??(1,1)(2分),
?z??y(1,1)11x??y2xx2?y21?2x(1,1)?(1,1)12(2分),
所以 dz|(1,1)??11dx?dy(1分). 2222224．设函数z?z(x,y)由方程x?y?z?xf()确定，求解：(方法一)
令F(x,y,z)?x?y?z?xf(). 则Fx?2x?f()?因此
222yx?z。 ?xyxyxyyyf'(),Fy?2y?f'(),Fz?2z(2分)， xxxyyyf()?f'()?2xF?zxxx??x?
?xFz2z . . .
(3分) .
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(方法二)
方程x?y?z?xf()两边对x求导，并注意z是x,y的函数，得 2x?2z解得
222yx?zyyyyyy?f()?xf'()(?2)?f()?f'(), ?xxxxxxxyyyf()?f'()?2x?zxxx . ??x2z25．如何将已知正数a分成两个正数x,y之和，使得xy为最大，其中p、q是已知的正数。
解：由拉格朗日乘数法，令
pqL(x,y,?)?xpyq??(x?y?a)(2分).
?Lx?pxp?1yq???0?pq?1由?Ly?qxy???0(2分) ??L??x?y?a?0解得驻点(apaq,)(2分). p?qp?q又由题意当点(x,y)趋于边界x?0或y?0时，目标函数f趋于零，所以连续函数f在驻点取最大值。因此当x?apaqpq,y?时，xy的值最大 p?qp?q3y26．设z?f(x,y)?g(u,v),u?x,v?x，其中f,g具有一阶连续偏导数，求解：
?z. ?x?z'?u'?v?fx'?gu??gv??x?x?x(2分)
(3分).
''?fx'?3x2gu?yxy?1gv27．求曲线x?2t,y?cos(?t),z?2lnt在对应于t?2点处的切线及法平面方程。 解：当t?2时，对应点的坐标为(8,1,2ln2)；又参数方程的切线方向向量为： n|t?2?{4t,??sin(?t),}|t?2?{8,0,1}(2分)，
22tx?8y?1z?2ln2??(2分)， 故切线方程为801或??x?8?8(z?2ln2).
?y?1?0 . . .
.
而法平面方程为8(x?8)?(z?2ln2)?0(2分).
28.求函数u?xyz在点M0(1,1,1)处方向导数的最大值和最小值。 解：u在点M0(1,1,1)处沿方向l的方向导数为：
23?u?l?(y2z3cos??2xyz3cos??3xy2z2cos?)|M0M0
?cos??2cos??3cos?(2分).令l?{cos?,cos?,cos?},g?{1,2,3}, 则
0?u?l?g?l0?|g|?|l0|?cos?,?为g与l0的夹角。
M0要使
?u?l取最大值，则cos?＝1，即?＝0，也就是g与l同向时，
M00?u?l取最大值，
M0即：当l?01?u{1,2,3}时，
?l14取最大值|g|?14(3分).
M0同理，要使
?u?l0取最小值，则cos?＝-1，即?＝?，也就是g与l反向时，
M00?u?l取最小
M0值，即：当l??1?u{1,2,3}时，
?l142xy取最小值|g|??14(3分).
M029. 设函数z?f(xy,e)，求
?z?z，． ?x?yxy解：设u?xy，v?e，那么
2?u?v?u?v?x2，?yexy，?xexy ?2xy，?y?y?x?x故
?z?f?u?f?v?f?f????=2xy?+yexy? ?x?u?x?v?x?u?v?z?f?u?f?v2?fxy?f????=x?+xe? ?y?u?y?v?y?u?v
33??z3?xyz?6?0所确定的隐函数，求它在点（1，2，-1）??z?zx,yyx30. 设是由
?z?z 及?y的值。 处的偏导数?x . . .
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