多元函数微分法和应用期末复习试题高等数学(下册)(上海电机学院)

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?z?3x2?yz??xM03z2?xy?z?3y?xz??yM03z2?xy2M01??,M0=(1,2,?1)(3分)5??11(3分)5

M031. 斜边长为m的所有直角三角形中，求有最大周长的直角三角形直角边的边长． 解：设两条直角边的边长为x，y，周长为S，则

S?m?x?y（1分）

并满足 x?y?m．由

222F(x,y,?)?m?x?y??(x2?y2?m2)（2分）

??F??x?1?2x??0???F?1?2y??0令 ?（3分） ??y??F?x2?y2?m2?0????解得 x?y?2m 2因为所有直角三角形的直角顶点位于直径为m的半圆周上，最小周长不存在，从而实际问题只有最大值，此时有最大周长的直角三角形的边长均是

2m。 2?z?zuz?sinv，而u?xy,v?x?y,求?x,?y e32.．设

?z?z?u?z?v???x?u?x?v?x

uu =esinv?y?ecosv?1 u?ysinv?cosv?（3分） e =

?z?z?u?z?v???y?u?y?v?y

uu =esinv?x?ecosv?1 u?xsinv?cosv? e =

. . .

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33.．设z?fx2?y, 且f可微，求y?2??z?z?x。 ?x?y

?z?z?z?z?2xf? (2分) ?2yf? (2分) y?x?0(2分) ?x?y?x?y34．求曲面ez?z?xy?3在点?2,1,0?处的切平面与法线的方程.

f?x,y,z??ez?z?xy?3则

?f?f?f?1,?0（3分） ?2,

?y?x?2,1,0??z?2,1,0??2,1,0?切平面方程为x?2?2?y?1??0?z?0??0即x?2y?4?0（2分）

?x?2y?1??法线方程为?12（2分）

??z?035.将正数12分成三个正数x,y,z之和，使得u?xyz为最大.（8分）

32?Fx??3x2y2z???0?3?Fy??2xyz???032解：令F(x,y,z)?xyz??(x?y?z?12)，则 ?（3分） 32?Fz??xy???0??x?y?z?1232 解得唯一驻点(6,4,2)（4分），故最大值为umax?6?4?2?6912.

?z?2zy,36、已知z=arctan，求

?x?x?yx。

?z?y?2zy2?x2 解： ?2,?2222?xx?y?x?y(x?y)?z?2z,37.设z?fx?y,xy,求 ?y?x?y?22?2?z?z??f112x?f12y?2y??f212x?f22y?x?f2 ?f1?2y?f2?x，

?x?y?y?z?2zy,38. 已知z=arctan，求

?x?x?yx。

?z?y?2zy2?x2?2(3分),?2(3分) 解： 222?xx?y?x?y(x?y) . . .

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39、设z=xlny，而x=

2

u?z?z，y=3u-2v，求,。 v?u?v?z2u3u2?2ln(3u?2v)?2,(3分) 解：

?uvv(3u?2v)

?zln(3u?2v)1??2u2[?](3分) 32?vvv(3u?2v)40．将正数a分成三个正数之和，使它们之乘积为最大。求这三个数。

解: 设三个数分别为x,y,z.

F(x,y,z,?)?xyz??(x?y?z?a)(2分)?F??yz???0x??作? a?Fy?xz???0令?,(4分)x?y?z?(4分)3?Fz??xy???0????F??x?y?z?a?041．设z?xarctan(xy)，求zx|(1,1）；zy|(1,1)；gradz|(1,1)

?xy??1解：zx|(1,1）??arctan?xy????（2分） ?21??xy??????1,1?42?x2?1 zy|(1,1)??（2分） ??22??1??xy????1,1???1?r1rgradz|(1,1)????i?j（2分）

?42?242．求曲面e?z?xy?3在点M(2,1,0)处的切平面方程和法线方程。

z解：Fx?2,1,0???y??2,1,0??1,Fy?2,1,0???x??2,1,0??2,Fz?2,1,0????e?1??z?2,1,0??0（3分）

切平面方程为x?2y?4?0

法线方程为43、设z?ln解:

x?2y?1z?? 120?1,1?

x2?y2，求dz?zx1?zy1?2??? (2分) (2分) 222?x?1,1?x?y?1,1?2?y?1,1?x?y?1,1?2dz?1?dx?dy?(2分) 2 . . .

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44、设z?xF?z?z???xy ，其中F?u? 可微，证明；x??y?xy?z

x?yyx证:

?z?z?y?y?y??y??F???F????y (2分) ?F????x(2分) ?x?x?x?x?x??x? x?z?z??y?y?y????y???y?x?F???F????y??y?F????x??xy?z(2分) ?x?y??x?x?x????x??2245.求曲面z?x?2y上点M(-1,1,3)处的切平面及法线方程。 解：

?z?z?4y??1,1,3??4(2分) ?2x??1,1,3???2

?y??1,1,3??x??1,1,3? 切平面方程为?2?x?1??4?y?1???z?3??0即2x?4y?z?3?0(2分)

法线方程为

x?1y?1z?3 ???24?13346、求f(x,y)?x?y?3xy的极值。

??f2?3?3y?0x???x解：? 解得驻点为?0,0?,?1,1?(2分)

?f??3y2?3x?0???y222?f?f?f?6x, B=??3, C=2?6y(3分) A=2?x?x?y?y 在点?0,0?, B2?AC?9?0无极值

在点?1,1?, B2?AC?9?36??27?0又A?6?0 所以在点（1，1）函数有极小值f(1,1)??1(2分)

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