13x0y0
1(a>b>0)的离心率为，且过点(1，)．若点M(x0，y0)在椭圆C上，则点N(，)称为
22ab点M的一个“椭点”． (1)求椭圆C的标准方程．
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且A，B两点的“椭点”分别为P，Q，以PQ为直径的圆经过坐标原点，试判断△AOB的面积是否为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，说明理由．
222c1ca－b1
解 (1)由题意知e＝＝，∴e2＝2＝2＝，
a2aa4
4219
即a＝b，又2＋2＝1，
3a4b2
∴a2＝4，b2＝3，∴椭圆C的标准方程为＋＝1.
43(2)△AOB的面积为定值．理由如下：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(，)，Q(，)，
2233∵以PQ为直径的圆经过坐标原点，
x2y2
x1y1x2y2
x1x2y1y2
→→∴OP·OQ＝0，即＋＝0.
43y＝kx＋m，??
由?xy＋＝1，??43
2
2
得(3＋4k2)x2＋8mkx＋4(m2－3)＝0，
Δ＝64m2k2－16(3＋4k2)(m2－3)>0，
得3＋4k2－m2>0.
8mk4m2－3x1＋x2＝－，x1x2＝.
3＋4k23＋4k2
22
3m－4ky1y2＝(kx1＋m)·(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
3＋4k2
17
代入
x1x2y1y2
4＋3
＝0，即y1y2＝－x1x2，得 34
3m2－4k234m2－3＝－·，即2m2－4k2＝3， 22
3＋4k43＋4k∴|AB|
＝
1＋k2
·|x1
－
x2|＝1＋k2·x1＋x2
2
－4x1x2＝
22
484k－m＋32
1＋k·
3＋4k2
|m|
，由点O到直线AB的距离公式得d＝2， 1＋k|m|1484k2－m2＋3|m|
·， 22＝23＋4k1＋k22
11484k－m＋32
∴S△AOB＝|AB|d＝1＋k·
223＋4k2
把2m2－4k2＝3代入上式，得S△AOB＝3.
x2y22
1．(2015·陕西)如图，椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)，经过点A(0，－1)，且离心率为. ab2
(1)求椭圆E的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2. (1)解 由题设知＝ca2
，b＝1， 2
结合a2＝b2＋c2，解得a＝2，
18
所以椭圆的方程为＋y2＝1.
2
(2)证明 由题设知，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，
2得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0，由已知Δ＞0， 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0， 4kk－12kk－2
则x1＋x2＝，x1x2＝，
1＋2k21＋2k2从而直线AP，AQ的斜率之和
x2
x2
y1＋1y2＋1kx1＋2－kkx2＋2－kkAP＋kAQ＝＋＝＋
x1x2x1x2
?11?x1＋x2
??＝2k＋(2－k)＋＝2k＋(2－k) xxxx1212??
4kk－1
＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.
2kk－2
x2y2
2．(2016·金华十校联考)椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上，下顶点分别为A，B，右焦点
ab213239
为F，点P(，)在椭圆C上，且OP⊥AF.
1313
(1)求椭圆C的方程；
11
(2)设不经过顶点A，B的直线l与椭圆交于两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2)，且＋x1x2
19
＝2，求椭圆右顶点D到直线l距离的取值范围． 解 (1)∵点P(21313，239
13
)，∴kOP＝3，
又∵AF⊥OP，－b×3＝－1，∴c＝3b，∴a2＝4b2c.
又点P(213213，39
13)在椭圆上，
412412
∴1313131313
a2＋b2＝4b2＋b2＝13b2＝1， 解得a2＝4，b2＝1，故椭圆方程为x2
4
＋y2＝1.
(2)(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，方程为x＝1，此时d＝1. (ⅱ)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx＋m(m≠±1)，联立椭圆方程得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， ＋x－8km4m2由根与系数的关系得x－1
12＝4k2＋1，x1x2＝4k2＋1，
由Δ>0?4k2－m2＋1>0，①
由1
＋1
xx＝2?x－8km4m2－1
1＋x2＝2x1x2?2＝2， 124k＋14k2＋1即km＝1－m2
?k＝1
m－m(m≠0)，②
把②式代入①式得m2
>4
3
或0 椭圆右顶点D(2,0)到直线l的距离 |2k＋m||2m－m| d＝|2－m2k2＋1 ＝ 1 ＝|m4－m2 ＋1 m2 ＋m2－1 ＝ m4－4m2＋4 m＝ 1－3m2－14－m2＋1m4－m2＋1 ， 20
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