[人教A版]高中数学 2.3.1数列前n项和与等差数列的前n项和练习 新人教A版必修5

2.3.1数列前n项和与等差数列的前n项和练习 新人教A版

必修5

?基础梳理

1．(1)对于任意数列{an}，Sn＝__________________，叫做数列{an}的前n项的和． (2)Sn－Sn－1＝____________．

2．(1)等差数列{an}的前n项和公式为________________________________________________________________________．

(2)等差数列：2，4，6，…，2n，…的前n项和Sn＝ __________．

(3)等差数列首项为a1＝3，公差d＝－2，则它的前6项和为______．

3．(1)等差数列依次k项之和仍然是等差数列．即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成公差为______________的等差数列．

(2)已知等差数列{an}，an＝n，则S3，S6－S3，S9－S6分别为：________．它们成______数列．

4．(1)由Sn的定义可知，当n＝1时，S1＝________；当n≥2时，an＝__________，即an＝__________________．

2

(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n，则an＝________________＝____________．

5．(1)等差数列的前n项和公式：Sn＝na1＋

n（n－1）d

可化成关于n的二次式子为2

________________________，当d≠0时，是一个常数项为零的二次式．

2

(2)已知等差数列的前n项和为Sn＝n－8n ，则前n项和的最小值为______，此时n＝______．

基础梳理

1．(1)a1＋a2＋a3＋…＋an (2)an(n≥2)，a1＝S1(n＝1)

n（a1＋an）n（n－1）d

2．(1)Sn＝或Sn＝na1＋ 22(2)(n＋1)n

(3)－12

2

3．(1)kd

(2)6，15，24 等差

??S1，n＝1，

4．(1)a1 Sn－Sn－1 ?

?Sn－Sn－1，n≥2???1，n＝1，*

(2)? 2n－1，n∈N ?2n－1，n≥2?

5．(1)Sn＝n＋?a1－?n

2?2?(2)－16 4

?自测自评

d2

?

d?

1．(2014·福建卷)等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝( ) A．8 B．10 C．12 D．14

22

2．已知数列{an}中，a3＋a8＋2a3a8＝9，且an<0，则S10为( ) A．－9 B．－11 C．－13 D．－15

3．1＋4＋7＋10＋…＋(3n＋4)＋(3n＋7)等于( )

A.C.

n（3n＋8）（n＋2）（3n＋8）

B. 22（n＋3）（3n＋8）n（3n－1）

D.

22

自测自评

1

1．解析：设公差为d，依题意得3×2＋×3×2d＝12，∴d＝2，所以a6＝2＋(6－1)×2

2＝12，故选C.

答案：C

2

2．解析：(a3＋a8)＝9，∵an<0，∴a3＋a8＝－3.

10（a3＋a8）

∴S10＝＝－15.

2

答案：D

3．解析：本题的项数为n＋3项，这一点很关键． 答案：C ?基础达标

1．已知a1，a2，a3，a4成等差数列，若S4＝32，a2∶a3＝1∶3，则公差d为( ) A．8 B．16 C．4 D．0 1．解析：S4＝32?2(a2＋a3)＝32， ∴a2＋a3＝16，

a21

又＝，a3＝3a2， a33

∴a2＝4，a3＝12，∴d＝a3－a2＝8.故选A. 答案：A

2．设a1，a2，…和b1，b2，…都是等差数列，其中a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{an＋bn}前100项之和为( )

A．0 B．100 C．10 000 D．50 500

100＋100

2．解析：S100＝×100＝10 000.故选C.

2

答案：C

3．等差数列{an}中，首项a1＞0，公差d＜0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)可能在下列哪条曲线上( )

d?1d2?dd3．解析：由Sn＝na1＋n(n－1)d＝n＋?a1－?n，及d＜0，a1＞0知，＜0，a1－＞0，

2?2222?

da1－

故排除A，B.对称轴n＝－

2＝dd－2a1

＞0，排除D. 2d答案：C

4．已知等差数列共有2n＋1项，其中奇数项之和为290，偶数项之和为261，则an＋1

的值为( )

A．30 B．29 C．28 D．27

4．解析：奇数项共有n＋1项，其和为

a1＋a2n＋1

22×an＋1

×(n＋1)＝·(n＋1)＝290，

2

∴(n＋1)an＋1＝290，偶数项共有n项，其和为

a2＋a2n22×an＋1

×n＝·n＝nan＋1＝261，

2

∴an＋1＝290－261＝29.故选B. 答案：B

5．(2013·上海卷)若等差数列的前6项和为23，前9项和为57，则数列的前n项和Sn＝________．

5275.n－n 66?巩固提高

Sn7n＋1a116．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且＝，则的值为Tn4n＋27b11

( )

7

4

32

43

7871

A. B. C. D.

6．解析：S2n－1＝(2n－1)·

a1＋a2n－1

2

2·an＝(2n－1)·＝(2n－1)an.

2同理T2n－1＝(2n－1)bn. ∴

S2n－1（2n－1）anan＝＝. T2n－1（2n－1）bnbna11S217×21＋14＝＝＝.故选C. b11T214×21＋273

令n＝11得

答案：C

3521

7．已知lg x＋lg x＋lg x＋…＋lg x＝11，则x＝________________________________________________________________________.

3521

7．解析：由条件得lg(x·x·x·…·x)＝11

1＋3＋5＋…＋21

?lg x＝11

1

1

?121lg x＝11，lg x＝，x＝1011.

11

答案：

11

10

2*

8．已知数列{an}的前n项和Sn＝4n＋2(n∈N)，则an＝______________________． 8．解析：n＝1时，a1＝S1＝6； n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝4n2－4(n－1)2＝8n－4.

??6，n＝1，∴an＝?*

?8n－4，n≥2，n∈N.??6，n＝1，?

答案：?* ??8n－4，n≥2，n∈N

9．在小于100的正整数中共有多个数被3除余2？这些数的和是多少？

*

9．分析：被3除余2的正整数可以写成3n＋2(n∈N)的形式．

2

解析：由3n＋2＜100，得n＜32，即n＝0，1，2，3，…，32.∴在小于100的正整数

3中共有33个数被3除余2.把这些数从小到大排列起来为：2，5，8，…，98，组成一个等33×（2＋98）

差数列{an}，其中a1＝2，a33＝98，n＝33，因此它们的和为S33＝＝1 650.

2

10．已知等差数列{an}中，a1＝－3，11a5＝5a8－13. (1)求公差d的值；

(2)求数列{an}的前n项和Sn的最小值． 10．解析：(1)由11a5＝5a8－13，得 11(a1＋4d)＝5(a1＋7d)－13. 5

∵a1＝－3，∴d＝. 9

5

(2)an＝a1＋(n－1)d＝－3＋(n－1)×，

932

令an≤0，得n≤. 5

∴a1＜a2＜…＜a6＜0＜a7＜….

6×5d529

∴Sn的最小值为S6＝6a1＋＝6×(－3)＋15×＝－.

293

1．记清等差数列的前n项和公式的两种形式并能正确地选用，具备三个条件n，a1，an选用Sn＝

n（a1＋an）

2

，具备三个条件n，a1，d选用Sn＝na1＋

n（n－1）d2

.

2．基本量原则：注意在五个基本量n，a1，d，an，Sn中知三个量利用等差数列的通项公式与前n项和公式可以求其他两个量．

3．注意把实际问题化为等差数列的问题研究．