华东师大版八年级数学上复习提纲

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第11章 数的开方 §11.1平方根与立方根

一、平方根

1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）

即：若x2=a，则x叫做a的平方根。

2、平方根的性质：

（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数； （2）零的平方根是零； （3）负数没有平方根。 例1：下列说法中不正确的是（ ）

A、9的算术平方根是3 B、16的平方根是?2

C、27的立方根是?3 D、立方根等于－1的实数是－1 例2:已知1?x?x?1有意义，则x的平方根是

15，那么这个数是多少？ 例3：某数的平方根是a＋3和2a－

二、算术平方根

1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。 2、算术平方根的性质：

（1）一个正数的算术平方根只有一个为正； （2）零的算术平方根是零； （3）负数没有算术平方根；

（4）算术平方根的非负性：a≥0。 例1：下列计算不正确的是（ ）

33(?9)2?81?94??2 A、 B、 C、0.064?0.4 D、?216??6

16的算术平方根是（ ）

A、?4 B、4 C、?2 D、2

例2：3－2的相反数是________；3－2的绝对值是________

三、平方根和算术平方根是记号：

平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a） 即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；

“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。

其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。

四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的

运算。

五、立方根

1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）

即：若x3=a，则x叫做a的立方根。

2、立方根的性质：

（1）一个正数的立方根为正； （2）一个负数的立方根为负； （3）零的立方根是零。

3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。

3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。

六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运

算。

例：已知x的平方根是2a＋3和1－3a ，y的立方根为a ，求x＋y的值

七、注意事项：

1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义： “±a”→问：哪个数的平方是a；

“a”→问：哪个非负数的平方是a；

“3a”→问：哪个数的立方是a。

2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。

如：若x?3有意义，则x取值范围是 。 若3?x2009有意义，则x取值范围是 。

3、3?a??3a。如：∵3?27??3，?327??3，∴3?27??327 4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 如：10?7?6?5?2等。

23和32怎么比较大小？

5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。

如：确定7的取值范围。∵4＜7＜9，∴2＜7＜3。

例：已知5?7的整数部分是a，小数部分是b，求a2?(3?7)b的值。

6、几个常见的算数平方根的值：2?1.414，3?1.732，5?2.236，6?2.449，7?2.646。 八、补充的二次根式的部分内容

1、二次根式的定义：形如a（a≥0）的式子，叫做二次根式。 2、二次根式的性质：(1)ab?(2)

； a?b（a≥0，b≥0）

aa（a≥0，b＞0）； ?bb(3) (a)2?a（a≥0）；

(4)

a2?|a|

； ab（a≥0，b≥0）

3、二次根式的乘除法：（1）乘法：a?b?（2）除法：

ab?a（a≥0，b＞0）。 b2四、能力点：会用若x?|y|?z?0，则x?0,y?0,z?0去解决问题

例题分析：

1、已知x，y是实数，且3x?4?(y?3)?0，则xy的值是（ ） A、4 B、－4 C、

299 D、－ 442、如果m?7?1，那么m的取值范围是（ ）

A、0

§11.2实数与数轴

一、无理数

1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。 2、常见的无理数：

，7，6，5，2，210（1）开方开不尽的数。如：10，?7?1，6?2，35?2等。

（2）“?”类的数。如：?，??，

?12?，，等。 3?