3．1.2 共面向量定理
[学习目标] 1.了解共面向量等概念.2.理解空间向量共面的充要条件．
知识点一 共面向量
能平移到同一平面内的向量叫做共面向量． 知识点二 共面向量定理
如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在有序实数组(x，
y)，使得p＝xa＋yb，即向量p可以由两个不共线的向量a，b线性表示．
知识点三 空间四点共面的条件
→→→
若空间任意无三点共线的四点，对于空间任一点O，存在实数x、y、z使得OA＝xOB＋yOC＋
zOD，且x、y、z满足x＋y＋z＝1，则A、B、C、D共面．
思考
1．空间两向量共线，一定共面吗？反之还成立吗？ 答案 一定共面，反之不成立．
2．空间共面向量定理与平面向量基本定理有何关系？
答案 空间共面向量定理中，当向量a，b是平面向量时，即为平面向量基本定理．
→
题型一 应用共面向量定理证明点共面
→1→1→1→例1 已知A、B、C三点不共线，平面ABC外的一点M满足OM＝OA＋OB＋OC.
333→→→
(1)判断MA、MB、MC三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． →→→→
解 (1)∵OA＋OB＋OC＝3OM， →→→→→→∴OA－OM＝(OM－OB)＋(OM－OC)． →→→→→∴MA＝BM＋CM＝－MB－MC.
→→→→→
又MB与MC不共线．∴向量MA、MB、MC共面． →→→
(2)∵向量MA、MB、MC共面且具有公共起点M， ∴M、A、B、C共面．即点M在平面ABC内．
1
反思与感悟 利用共面向量定理证明四点共面时，通常构造有公共起点的三个向量，用其中的两个向量线性表示另一个向量，得到向量共面，即四点共面．
→→→跟踪训练1 已知两个非零向量e1、e2不共线，如果AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．
1→1→→→→→1→→→→
证明 ∵AD＋AC＝5e1＋5e2＝5AB，∴AB＝(AD＋AC)＝AD＋AC，又AD与AC不共线．
555→→→
∴AB、AD、AC共面，又它们有一个公共起点A. ∴A、B、C、D四点共面．
题型二 应用共面向量定理证明线面平行
例2 如图，在底面为正三角形的斜棱柱ABCA1B1C1中，D为AC的中点，
求证：AB1∥平面C1BD.
→→→
证明 记AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则
AB1＝a＋c，DB＝AB－AD
1
＝a－b，
2
→→→→
DC1＝DC＋CC1＝b＋c，
→→→→→
所以DB＋DC1＝a＋c＝AB1，又DB与DC1不共线， →→→
所以AB1，DB，DC1共面．
又由于AB1不在平面C1BD内，所以AB1∥平面C1BD.
反思与感悟 在空间证明线面平行的又一方法是应用共面向量定理进行转化．要熟悉其证明过程和证明步骤．
→→→
跟踪训练2 如图所示，已知斜三棱柱ABCA1B1C1，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，在面对角线AC1→→→→
上和棱BC上分别取点M、N，使AM＝kAC1，BN＝kBC (0≤k≤1)． 求证：MN∥平面ABB1A1.
→→→→
证明 AM＝k·AC1＝k(AA1＋AC)＝kb＋kc，
→→→→
又∵AN＝AB＋BN＝a＋kBC＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb， →→→
∴MN＝AN－AM＝(1－k)a＋kb－kb－kc ＝(1－k)a－kc.又a与c不共线． →
∴MN与向量a，c是共面向量．
→→→
12
2
又MN不在平面ABB1A1内， ∴MN∥平面ABB1A1.
题型三 向量共线、共面的综合应用
例3 如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连结PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．试用向量方法证明E，F，G，H四点共面． 解 分别连结PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连结
MN，NQ，QR，RM.
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
→2→→2→→2→→∴M，N，Q，R是所在边的中点，且PE＝PM，PF＝PN，PG＝PQ，PH＝
3332→
PR. 3
由题意知四边形MNQR是平行四边形， →→→∴MQ＝MN＋MR →→→→＝(PN－PM)＋(PR－PM)
3→→3→→3→→＝(PF－PE)＋(PH－PE)＝(EF＋EH)． 222→→→3→3→3→又MQ＝PQ－PM＝PG－PE＝EG.
222→→→
∴EG＝EF＋EH，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
反思与感悟 利用向量法证明四点共面，实质上是证明的向量共面问题，解题的关键是熟练地进行向量表示，恰当应用向量共面的充要条件，解题过程中要注意区分向量所在的直线的位置关系与向量的位置关系．
跟踪训练3 已知O、A、B、C、D、E、F、G、H为空间的9个点(如→→→→→→→→→→→图所示)，并且OE＝kOA，OF＝kOB，OH＝kOD，AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋
mEF.
求证：(1)A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面； →→(2)AC∥EG； →→(3)OG＝kOC.
→→→→→→
证明 (1)由AC＝AD＋mAB，EG＝EH＋mEF知A、B、C、D四点共面，E、F、G、H四点共面．
→
3
→→→(2)∵EG＝EH＋mEF →→→→＝OH－OE＋m(OF－OE) →→→→＝k(OD－OA)＋km(OB－OA) →→＝kAD＋kmAB →→→＝k(AD＋mAB)＝kAC， →→∴AC∥EG.
→→→→→→→→→→
(3)由(2)知OG＝EG－EO＝kAC－kAO＝k(AC－AO)＝kOC，∴OG＝kOC.
1．设a，b是两个不共线的向量，λ，μ∈R，若λa＋μb＝0，则λ＝________，μ＝________. 答案 0 0
解析 ∵a，b是两个不共线的向量， ∴a≠0，b≠0，∴λ＝μ＝0. 2．给出下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面； ②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为________． 答案 1
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0时，则有无数多个λ使之成立． →→→
3.如图，在空间四边形OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点M在OA上，→
且OM＝2MA，N为BC中点，则MN＝________.(用a、b、c表示) 211
答案 －a＋b＋c
322→→→→
解析 MN＝MA＋AB＋BN 11
＝a＋(b－a)＋(c－b) 32211＝－a＋b＋c.
322
4．下列命题中，正确命题的个数为________． ①若a∥b，则a与b方向相同或相反；
4
→→
②若AB＝CD，则A，B，C，D四点共线；
③若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)． 答案 0
→→
解析 当a，b中有零向量时，①不正确；AB＝CD时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确；由p，a，b共面的充要条件知，当p，a，b共面时才满足p＝λa＋μb(λ，μ∈R)，故③不正确．
5．空间的任意三个向量a，b,3a－2b，它们一定是________． 答案 共面向量
解析 如果a，b是不共线的两个向量，由共面向量定理知，a，b,3a－2b共面；若a，b共线，则a，b,3a－2b共线，当然也共面．
共面向量定理的应用：
(1)空间中任意两个向量a，b总是共面向量，空间中三个向量a，b，c则不一定共面． (2)空间中四点共面的条件
→→→
空间点P位于平面MAB内，则存在有序实数对x、y使得MP＝xMA＋yMB，①
→→
此为空间共面向量定理，其实质就是平面向量基本定理，MA，MB实质就是面MAB内平面向量的一组基底．
→→→→
另外有OP＝OM＋xMA＋yMB，②
→→→→
或OP＝xOM＋yOA＋zOB (x＋y＋z＝1)，③
①、②、③均可作为证明四点共面的条件，但是①更为常用．
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