第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 课时作业26 平面向量的概念及其线性运算
一、选择题
→
1．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB→
＋FC＝( A )
→A.AD 1→C.2BC
1→B.2AD →D.BC
→→1→→1→→1→→
解析：由题意得EB＋FC＝2(AB＋CB)＋2(AC＋BC)＝2(AB＋AC)→＝AD.
→
2．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量OA平行的向量为( B )
→→→→→A.AB＋AC B.AB＋BC＋CD →→→→→→C.AB＋AF＋CD D.AB＋CD＋DE →→→→→→
解析：AB＋BC＋CD＝AD＝2AO＝－2OA.
→→→
3．设向量a，b不共线，AB＝2a＋pb，BC＝a＋b，CD＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为( B )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
→→→→→
解析：因为BC＝a＋b，CD＝a－2b，所以BD＝BC＋CD＝2a－b.→→→→
又因为A，B，D三点共线，所以AB，BD共线．设AB＝λBD，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.
4．(2018·福建高三质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为5－1PT
顶点的多边形为正五边形，且AT＝2.下列关系中正确的是( A )
→→5＋1→A.BP－TS＝2RS →→5－1→C.ES－AP＝2BQ
→→5＋1→B.CQ＋TP＝2TS →→5－1→D.AT＋BQ＝2CR
→
→→→→→5＋1→RS
解析：由题意得，BP－TS＝TE－TS＝SE＝＝2RS，所
5－12以A正确；
→→→→→5＋1→
CQ＋TP＝PA＋TP＝TA＝2ST，所以B错误；
→→→→→5－1→
ES－AP＝RC－QC＝RQ＝2QB，所以C错误；
→→→→5－1→→→→→→5－1AT＋BQ＝SD＋RD，2CR＝RS＝RD－SD，若AT＋BQ＝2→→
CR，则SD＝0，不合题意，所以D错误．故选A.
5．如图，在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上→→→
一点，BC＝3EC，F为AE的中点，则BF＝( C )
2→1→A.3AB－3AD 2→1→C．－3AB＋3AD
1→2→B.3AB－3AD 1→2→D．－3AB＋3AD
→→→→1→→1?→1→→?
?
解析：BF＝BA＋AF＝BA＋2AE＝－AB＋2?＝－AD＋AB＋CE??2??→1→1→1→→1→1→1→→→2AB＋2AD＋2AB＋3CB＝－AB＋2AD＋4AB＋6(CD＋DA＋AB)＝－3→1→AB＋3AD.
6．如图，在△ABC中，N为线段AC上靠近点A的三等分点，点→2→2→
P在线段BN上且AP＝(m＋11)AB＋11BC，则实数m的值为( D )
195
A．1 B.3 C.11 D.11
→→2→2→2→2→→
解析：AP＝(m＋11)AB＋11BC＝(m＋11)AB＋11(AC－AB)＝mAB→→→→→→→→2→
＋11AC，设BP＝λBN(0≤λ≤1)，则AP＝AB＋λBN＝AB＋λ(AN－AB)→→→1→→→1→
＝(1－λ)AB＋λAN，因为AN＝3AC，所以AP＝(1－λ)AB＋3λAC，则
??m＝1－λ，?21??11＝3λ，
6??λ＝11，
解得?5
?m＝?11，
故选D.
7. (2019·河北、河南、山西三省联考)如图，在等边△ABC中，O→→
为△ABC的重心，点D为BC边上靠近B点的四等分点，若OD＝xAB→
＋yAC，则x＋y＝( B )
1A.12 2C.3
1B.3 3D.4 →
解析：设点E为BC的中点，连接AE，可知O在AE上，由OD＝→→1→1→1→→1→→5→1→
OE＋ED＝3AE＋4CB＝6(AB＋AC)＋4(AB－AC)＝12AB－12AC，故x511
＝12，y＝－12，x＋y＝3.故选B.
→
8．(2019·辽宁丹东联考)P是△ABC所在平面上的一点，满足PA＋→→→
PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，则△PAB的面积为( A )
A．2 B．3 C．4 D．8
→→→→→→→→→→
解析：∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2(PB－PA)，∴3PA＝PB－PC＝CB，→→
∴PA∥CB，且方向相同，
→
S△ABCBC|CB|S△ABC∴＝AP＝＝3，∴S△PAB＝3＝2.
→S△PAB
|PA|二、填空题
→→
9．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，→→
则DC＝b－a，BC＝－a－b.(用a，b表示)
→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－→
OB＝－a－b.
→
10．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝→→→
xAB＋yAC＋zAS，则x＋y＋z＝0. →→→1→→→
解析：依题意得BD＝AD－AB＝2(AS＋AC)－AB →1→1→＝－AB＋2AC＋2AS， 11
因此x＋y＋z＝－1＋2＋2＝0.
→→→
11．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是梯形．
→→→→
解析：由已知得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝→→→→→
2BC，故AD与BC共线，且|AD|≠|BC|，所以四边形ABCD是梯形．
12．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝23，BC→→→1??＝2，点E在线段CD上，若AE＝AD＋μAB，则μ的取值范围是?0，2?.
?
?
→→
解析：由题意可求得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC. →→
∵点E在线段CD上，∴DE＝λDC(0≤λ≤1)． →→→∵AE＝AD＋DE，
→→→→→→2μ→又AE＝AD＋μAB＝AD＋2μDC＝AD＋λDE， 2μλ∴λ＝1，即μ＝2. 1??1
?∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤2.即μ的取值范围是0，2?. ??
13．(2019·湖南湘东五校联考)已知圆心为O，半径为1的圆上有→→→→不同的三个点A，B，C，其中OA·OB＝0，存在实数λ，μ满足OC＋λOA→
＋μOB＝0，则实数λ，μ的关系为( A )
A．λ2＋μ2＝1 C．λμ＝1
11B.λ＋μ＝1 D．λ＋μ＝1
解析：解法1：取特殊点，取C点为优弧AB的中点，此时由平2
面向量基本定理易得λ＝μ＝2，只有A符合．故选A.
→→→→→→
解法2：依题意得|OA|＝|OB|＝|OC|＝1，－OC＝λOA＋μOB，两边平方得1＝λ2＋μ2.故选A.
→→
14．在△ABC中，已知AB⊥AC，AB＝AC，点M满足AM＝tAB＋→3－1π
(1－t)AC，若∠BAM＝3，则t＝2.
→→→→→→→
解析：由题意可得AM＝tAB＋AC－tAC，所以AM－AC＝tAB－→→→→→
tAC，即CM＝tCB，所以CM与CB共线，即B，M，C三点共线，且t→→
→→|CM||CM|
＝.又由条件知|BC|＝2|AC|，所以t＝.在△ABC中，由正弦→→|CB|2|AC|1→
2|CM|sin30°22
定理知＝sin105°＝＝，所以t＝＝
→6＋26＋22×?6＋2?|AC|
4
3－12.
尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用 →
15．(2019·广东七校联考)P，Q为三角形ABC中不同两点，若PA→→→→→→
＋PB＋PC＝AB，QA＋3QB＋5QC＝0，则S△PABS△QAB为( B )
13A.3 B.5 57C.7 D.9 →→→→→→→
解析：令D为AC的中点，PA＋PB＋PC＝AB，化为PA＋PC＝AB→→→1－PB，即2PD＝AP，可得AC＝3AP，且点P在AC边上，则S△PAB＝2→→→
S△ABC，设点M，N分别是AC，AB的中点，则由QA＋3QB＋5QC＝0→→→→→→
可得2QM＋6QN＋QC＝0，设点T是CN的中点，则2QM＋5QN＋2QT→→5＝0，设点S是MT的中点，则4QS＋5QN＝0，因此可得S△QAB＝9S△ABC，3
所以S△PABS△QAB＝5，故选B.
16．(2019·安徽淮南一模)已知G是△ABC的重心，过点G作直→→→→
线MN与AB，AC交于点M，N，且AM＝xAB，AN＝yAC(x，y>0)，则4＋23
3x＋y的最小值是3. →→
解析：如图，∵M，N，G三点共线，∴MG＝λGN.
→→→→∴AG－AM＝λ(AN－AG)．
→1→→
∵G是△ABC的重心，∴AG＝3(AB＋AC)． →→1→→1→→
∴3(AB＋AC)－xAB＝λyAC－3(AB＋AC)． 11??3－x＝－3λ，∴?11??3＝λy－3λ，1
≤x≤1，2≤y≤1；
11
令3x－1＝m,3y－1＝n2≤m≤2，2≤n≤2， 1＋m1＋n
则mn＝1，x＝3，y＝3.
1＋n4n4
故3x＋y＝1＋m＋3＝3＋m＋3≥3＋23
仅当m＝3，n＝3时等号成立．
1
整理得(3x－1)·(3y－1)＝1；结合图象可知2
1423
3mn＝3＋3，当且
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