中考数学一轮复习 解直角三角形

中考数学一轮复习 解直角三角形

知识考点：

本节知识主要考查解直角三角形的四种类型，以及构造直角三角形解非直角三角形的有关问题。 精典例题：

20

，D为AC上一点，∠BDC＝45，DC＝6，求AB的长。 5BC200

分析：由∠C＝90，∠BDC＝45，可知DC＝BC＝6，再由sinA＝＝即可求出AB的长。

AB5【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝

0

解：在Rt△ABC中，∠C＝90，∠BDC＝45

∴∠BDC＝∠DBC＝45 ∴DC＝BC＝6

在Rt△ABC中，∠C＝90，sinA＝ ∴AB＝

00

00

BBC2＝ AB5ADC例1图 6?5＝15 20

0

0

变式：如图，在△ABC中，∠B＝90，C是BD上一点，DC＝10，∠ADB＝45，∠ACB＝60，求AB的长。 分析：设AB＝x，通过解Rt△ABC和解Rt△ABD即可。 解：设AB＝x

∵∠B＝90，∠ACB＝60 ∴BC＝x?cot60＝ 又∵BD＝BC＋DC ∴x?00

0

3x 3A3x?10 3DCB例1变式图 ∴x?15?53 答案：AB的长为15?53

评注：设关键线段（联系两直角三角形的线段）为x，建立方程是解直角三角形问题的一种常用的方法。 【例2】如图，在△ABC中，∠A＝30，E为AC上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB于F，连结FC，则cot∠CFB＝（ ）

A、

0

11413 B、3 C、3 D、3 6234分析：因为∠CFB不是直角三角形的一个内角，故想法构造一个直角三角形，使∠CFB是它的一个锐角，由EF⊥AB联想到作EF的平行线CD，得到Rt△CDB即可求解。

解：过C作CD∥EF交AB于点D

BDFAFAE??3 ∴

FDECA 用心 爱心 专心

EC- 1 -

例2图 EC1?AF?AF AE3EFAE3AC4 由??可得CD??EF?EF

CDAC4AE30

设EF＝x，由EF⊥AF可知△AEF是Rt△，且∠A＝30

∴DF? ∴AE?2x，AF? ∴CD?3x

41x，DF?x，CD∥EF，EF⊥AB 33 ∴CD⊥AB，△CFD是直角三角形

13xDF33 在Rt△CFD中，cot?CFB? ??4CD4x3答案：D

【例3】已知等腰梯形ABCD中，AD＋BC＝18cm，sin∠ABC＝的长。

分析：此题所求的边不在直角三角形中，可通过作辅助线（梯形中的重要辅助线）构造直角三角形，使问题得以解决。

解：如图，作DE∥AC交BC的延长线于E，则四边形ACED是平行四边形。 ∴AD＝CE，DE＝AC，易证△ABC≌△DCB ∴AC＝DB，BD＝DE ∴△DBE为等腰三角形 BE＝BC＋AD＝18cm

BGFCEAOD23，AC与BD相交于点O，∠BOC＝1200，试求AB5 分别过A、D作AG⊥BC于G，DF⊥BC于F ∵∠BDE＝∠BOC＝120，∴∠BDF＝60

0

0

例3图 1BE＝9cm，AG＝DF＝33cm 2AG 在Rt△ABG中，sin∠ABG＝

AB ∴BF＝ ∴AB＝

AG3315??（cm） 2sin?ABG235答：AB的长是

15 cm。 2评注：在直角三角形中，若已知两边，可先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值，如果已知一边一角，可以通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式，即可求出未知元素。若所求的元素不在直角三角形中，应通过作辅助线等方法构造直角三角形，从而把这些元素转化到直角三角形中解决。 探索与创新：

用心 爱心 专心

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【问题】如图，如果△ABC中∠C是锐角，BC＝a，AC＝b。证明：S?ABC?证明：过A作AD⊥BC于D，则△ADC是直角三角形 ∴sinC?1absinC 2AD ACA ∴AD?AC?sinC?bsinC 又∵S?ABC? ∴S?ABC1BC?AD 21?absinC 2BDC问题图 评注：本题的结论反映出三角形的两边及其夹角与这个三角形的面积之间的关系。同理还可推出：

S?ABC?111absinC?bcsinA?acsinB（三角形面积公式） 222跟踪训练： 一、填空题：

1、如图，在△ABC中，∠C＝90，∠ABC＝60，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是 。 2、在△ABC中，∠B＝30，tanC＝2，AB＝2，则BC的长是 。

0

3、在△ABC中，∠C＝90，AB＝2，BC＝3，则tan

0

0

0

A＝ 。 20

4、已知正方形ABCD的两条对角线相交于O，P是OA上一点，且∠CPD＝60，则PO∶AO＝ 。

BACDABDC

第1题图

0

0

第5题图

5、如图，在△ABC中，∠B＝60，∠BAC＝75，BC边上的高AD＝3，则BC＝ 。 6、等腰三角形的周长为2?二、选择题：

1、在△ABC中，∠C＝90，AC＝BC＝1，则tanA的值是（ ）

A、2 B、

0

3，腰长为1，则底角等于 。

21 C、1 D、 222、在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高线，已知∠ACD的正弦值是

2AC，则的值是（ ） 3AB A、

5232 B、 C、 D、

25533、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米。现将梯子的底端A向外移动到A?，使梯子的底端A?到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降到B?，那么BB?（ ） A、等于1米 B、大于1米 C、小于1米 D、不能确定

用心 爱心 专心

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