一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练(含答案)

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一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练

对于一元二次方程,当判别式△=时,其

求根公式为:;若两根为,当△≥０时，则两根的关系

为:；,根与系数的这种关系又称为韦达定理;它的逆定理也

是成立的,即当，时,那么则是

的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合性强,应用极为广泛,在中学数学中占有极重要的地位,也是数学学习中的重点。学习中,老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程

根的判别式

式求出方程

的两个根

存在的三种情况,以及应用求根公,进而分解因式，即

。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些

分析，希望能给同学们带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例１:已知关于的方程（1)根，且关于的方程(2）程（1)有整数解?

分析：在同时满足方程（1）,(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。

解：∵方程（1)有两个不相等的实数根,

有两个不相等的实数

没有实数根，问取什么整数时，方

--

--

∴

解得

；

∵方程（2)没有实数根,

∴

解得

；

于是，同时满足方程（1)，(2)条件的的取值范围是

其中，的整数值有

当

当

时，方程（1）为

,有整数根。

时，方程（1)为

,无整数根；

或

--

--

解得:

所以，使方程(1)有整数根的的整数值是

说明:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出

，这也正是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例１:不解方程,判别方程

分析：对于

来说，往往二次项系数,一次项系数，常数

两根的符号。

。

项皆为已知,可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否,若判定根的正负,则需要确定求出判别式的值,又要确定

解：∵

∴方程有两个不相等的实数根。

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,∴△=

—4×２×（—7)＝6５>0

或

或

的正负情况。因此解答此题的关键是:既要

的正负情况。