第21讲
直角三角形与勾股定理
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【疑难点拨】
1. 直角三角形斜边上中线性质的应用：
直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质，同时也是常考的知识点．它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。：①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形；②分成的两个等腰三角形的腰相等，两个顶角互补、底角互余，并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍．
2. 勾股定理“小诊所”
（1）受勾3股4的影响，忽视分情况讨论：题目中并没有指出3和4是直角三角形的两条直角边，造成错误的原因应该是思维定势，受勾3股4的影响而忽视分情况讨论。
（2）忽视勾股定理的存在条件是直角三角形中运用。
（3）忽视勾股定理表达式中的结构特点错误在于忽视勾股定理的本质特点，只注意了表面形式。
（4）忽视对图形的讨论：错解中只考虑三角形的高在三角形的内部的情况，忽视了高还有可能在三角形外的情况。 【基础篇】 一、选择题：
1. （2018?山西?3分）“算经十书”是指 汉唐一千多年间的 十 部著名数学著作，它 们曾经是隋唐时期 国 子监算学科 的 教 科 书 ， 这 些 流 传 下 来 的 古 算 书 中 凝 聚 着 历 代 数 学 家 的 劳 动 成 果 .下 列 四 部 著 作 中 ，不 属 于 我 国古代数学著作的 是（ ）
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A.《九章算术》 【答案】 B
【考点】 数学文化
【解析 】《 几 何 原 本 》 的 作 者 是 欧 几 里 得
2. （2018?山东滨州?3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（ ） A．5
B．6
C．7
D．8
B. 《几何原本》 C. 《 海 岛 算 经 》 D. 《 周 髀 算 经 》
【分析】直接根据勾股定理求解即可．
【解答】解：∵在直角三角形中，勾为3，股为4， ∴弦为
=5．
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
3. （2018·广西贺州·3分）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD=ED=3，则BC的长为（ ）
A．3
B．3
C．6
D．6
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【解答】解：∵AD=ED=3，AD⊥BC， ∴△ADE为等腰直角三角形， 根据勾股定理得：AE=
=3
，
∵Rt△ABC中，E为BC的中点，
∴AE=BC，
则BC=2AE=6故选：D．
，
4. （2018?湖北黄冈?3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=
A.2 B.3 C.4 D.23
（第5题图）
【考点】直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理。
【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CE=AE=5，又知AD=2，可得DE=AE-AD=5-2=3，在Rt△CDE中，运用勾股定理可得直角边CD的长。 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CE为AB边上的中线， ∴CE=AE=5，
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