北京市海淀区2013届高三年级第二学期期中练习 数 学 （理科） 2013.4
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
21.集合A?{x?N|x?6},B?{x?R|x?3x?0}，则A?B?
A.{3,4,5} B.{4,5,6} C.{x|3?x?6} D.{x|3?x?6} 2.在极坐标系中, 曲线??4cos?围成的图形面积为 Ａ.π B.4 Ｃ.4π Ｄ.16
3.某程序的框图如图所示，执行该程序， 若输入的x值为5，则输出的y值为 Ａ.?2 B. ?1 C.
12x?0 开始 输入x x?x?2 否 D.2
是 y?2 x?x?1,?4.不等式组?x?y?4?0,表示面积为1的直角三角形区域，则k的值为
?kx?y?0?输出y 结束 Ａ.?2 B. ?1 C. 0 D.1 5. 若向量a,b满足|a|?|b|?|a?b|?1，则a?b 的值为 A.?12 B.
12 C.?1 D. 1
6. 一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有 A.12种 B. 15种 C. 17种 D.19种
27. 抛物线y?4x的焦点为F，点P(x,y)为该抛物线上的动点，又点A(?1,0)，则
|PF||PA|的
最 小值是
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A.
12 B.
22 C.32 D.
223
8. 设l1,l2,l3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：
①?Ai?li(i?1,2,3)，使得?A1A2A3是直角三角形； ②?Ai?li(i?1,2,3)，使得?A1A2A3是等边三角形；
③三条直线上存在四点Ai(i?1,2,3,4)，使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是
A. ① B.①② C. ①③ D. ②③
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在复平面上，若复数a+b i（a,b?R）对应的点恰好在实轴上，则b=_______. 10.等差数列{an}中,a3?a4?9,a2a5?18, 则a1a6?_____.
11.如图，AP与?O切于点A，交弦DB的延长线于点P，
BC?3,CP?4，过点B作圆O的切线交AP于点C. 若?ACB?90?，
[来源:学科网ZXXK]A C P O B
D 则弦DB的长为_______.
12.在?ABC中，若a?4,b?2,cosA??14，则c?_____,sinC?____.
x??2?a, x?0,13.已知函数f(x)??2有三个不同的零点，则实数a的取值范围是
??x?3ax?a, x?0_____.
14.已知函数f(x)?sinπ2x，任取t?R，定义集合：
2}.
At?{y|y?f(x)，点P(t,f(t))，Q(x,f(x))满足|PQ|?设Mt, mt分别表示集合At中元素的最大值和最小值，记h(t)?Mt?mt. 则
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（1）函数h(t)的最大值是_____；
（2）函数h(t)的单调递增区间为________.
三、解答题: 本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?2?(3sinx?cosx)2. （Ⅰ）求f()的值和f(x)的最小正周期；
4π（Ⅱ）求函数f(x)在区间[?
16.（本小题满分13分）
??63,]上的最大值和最小值.
在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A,B,C,D,E五个等级. 某考场考生两科的考试成绩的数据统计如下图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人. （I）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数； （II）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分. （i）求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；
(ii)若该考场共有10人得分大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分. 从这10
人中随机抽取两人，求两人成绩之和的分布列和数学期望.
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频率 0.375 0.200科目：数学与逻辑频率0.375科目：阅读与表达0.1500.0750.025等级等级
17.（本小题满分14分）
在四棱锥P?ABCD中，PA?平面ABCD，?ABC是正三角形，
?AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA?AB?4，?CDA?120，
PN点N在线段PB上，且PN?（Ⅰ）求证：BD?PC；
2．
ADMBC（Ⅱ）求证：MN//平面PDC; （Ⅲ）求二面角A?PC?B的余弦值．
18.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?lnx?ax2?bx(其中a,b为常数且a?0)在x?1处取得极值. (I) 当a?1时，求f(x)的单调区间；
(II) 若f(x)在?0,e?上的最大值为1，求a的值.
19.（本小题满分14分）
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