2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第四章+第27讲 平面向量的概念及线性运算+W

2020版《名师导学》高考文科数学新课标总复习练习题：第四章+第27讲 平面向量的概念

及线性运算+Word版含解析

第27讲 平面向量的概念及线性运算

夯实基础 【p63】

【学习目标】

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． 2．理解向量的加法和减法及几何意义．

3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件． 【基础检测】

→

1．已知两点A(4，1)，B(7，－3)，则与向量AB同向的单位向量是( )

?3，－4? B.?－3，4? A．±5??5?55?3443，－? D.?，－? C.?5?5??5?5

【解析】因为A、B两点的坐标为A(4，1)，B(7，－3)，

→

所以AB＝(3，－4)，

→

所以|AB|＝5，

34→

，－?. 所以与向量AB同向的单位向量为?5??5

故选C. 【答案】C

→→

2．如图，在△ABC中，BE是边AC的中线，O是BE边的中点，若AB＝a，AC＝b，则→

AO＝( )

11A.a＋b 2211B.a＋b 2411C.a＋b 4211D.a＋b 44

→1→

【解析】由题意，在△ABC中，BE是边AC上的中线，所以AE＝AC，

2

又因为O为BE的中点，

→1→→1→1→11

所以AO＝(AB＋AE)＝AB＋AE＝a＋b，故选B.

22224

【答案】B

3．下列命题中：

①a∥b?存在唯一的实数λ∈R，使得b＝λa； ②若e为单位向量，且a∥e，则a＝±|a|·e；

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③|a·a·a|＝|a|3；

④若a与b共线，b与c共线，则a与c共线； ⑤若a·b＝b·c且b≠0，则a＝c. 其中正确命题的序号是( )

A．①⑤ B．②③ C．②③④ D．①④⑤

【解析】对于①，根据共线向量的定理可知，当a≠0时此命题才正确，所以此命题错误；对于②，根据共线向量和单位向量的定义可知，两向量共线方向相反或相同，所以此命题正确；对于③，根据向量数量积的性质a·a＝a2＝|a|2知道此命题正确；对于④，向量的平行不具有传递性，当b≠0时才满足传递性，所以此命题错误；对于⑤，由已知得(a－c)·b＝0且b≠0，则a与c相等或不相等，因为当(a－c)⊥b也正确，所以此命题错误，所以选B.

【答案】B

4．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________． 【解析】由已知得a＋λb＝－k(b－3a)，

1λ＝－，?3?λ＝－k，

∴?解得

1?3k＝1，?

k＝.3

1

【答案】－

3

【知识要点】

1．向量的有关概念

(1)向量：__既有大小又有方向的量__叫向量．一般用a，b，c，…来表示，或用有向线段

→→

的起点与终点的大写字母来表示，如：AB.向量的大小，即向量的长度(或称模)，记作|AB|.

(2)零向量：__长度为零__的向量，记作0，其方向是任意的．我们规定：零向量和任何向量平行．

a

(3)单位向量：__长度等于1个__单位长度的向量．与非零向量a同向的单位向量为，

|a|

a

与a反向的单位向量为－.

|a|

(4)相等向量：长度相等且__方向相同__的向量．相等向量经过平移后总可以重合，记为a＝b.

(5)平行向量：方向__相同或相反__的非零向量，叫作共线向量，因此任何平行向量经过平移后，总可以移到同一条直线上．

2．向量的加、减运算． (1)向量加、减法的定义．

求两个向量和的运算叫作向量的加法；

若__b＋x＝a__，则向量x叫作a与b的差． (2)向量加、减法的几何意义． ①向量加法的几何意义

向量的加法符合平行四边形法则和__三角形法则__．

→

如图所示的向量AC＝a＋b.

???

②向量减法的几何意义

→

向量的减法符合__三角形法则__．如图所示的向量BA＝a－b(以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量)．

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③常用结论

→1→→

M为△AOB边AB的中点，则OM＝(OA＋OB)．

2

→1

(3)①线段中点的向量表示：若M是线段AB的中点，O是平面内任一点，则OM＝

2

→→OA＋OB.

②向量加法的多边形法则：有限个向量a1，a2，…，an相加，可以从点O出发，逐一作→→→

向量OA1＝a1，A1A2＝a2，…，An－1An＝an，则向量OAn是这些向量的和，即

→→→

a1＋a2＋…＋an＝OA1＋A1A2＋…＋An－1An＝OAn(向量加法的多边形法则)． 当An和O重合时(即上述折线OA1A2…An成封闭折线时)，和向量为零向量． 3．向量的数乘运算 (1)数乘向量的定义

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：|λa|＝|λ||a|； 当λ>0时，λa与a的__方向相同__； 当λ<0时，λa与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0；

当a＝0时，__λa＝0__． (2)数乘向量的几何意义

数乘向量的几何意义就是把向量a沿a的方向或a的反方向伸长或缩短． (3)数乘向量的运算律 设λ、μ为实数，则 (λ＋μ)a＝λa＋μ a； λ(μ a)＝(λμ)a； λ(a＋b)＝λa＋λb.

(4)共线向量(平行向量基本定理)

若a＝λb，则a∥b；反之，若a∥b(b≠0)，则一定存在一个实数λ，使a＝λb. 4．向量的有关概念 名称 定义 备注 既有__大小__又有方向的量；向量的向量 平面向量是自由向量 大小叫作向量的__长度__(或称__模__) 零向量 长度为__0__的向量；其方向是任意的 记作0 单位 a长度等于__1个单位__的向量 非零向量a的单位向量为± |a|向量 平行 方向__相同__或__相反__的非零向量 向量 共线 __方向相同或相反__的非零向量又叫0与任一向量平行或共线 向量 作共线向量 相等 两向量只有相等或不等，不能比较大长度__相等__且方向__相同__的向量 向量 小 相反 长度__相等__且方向__相反__的向量 0的相反向量为0 向量 5.向量的线性运算 ()

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及线性运算+Word版含解析

向量 运算 定义 法则(或几 何意义) __三角形__法则 运算律 加法 求两个向量和的运算 __平行四边形__ 法则 (1)交换律a＋b＝__b＋a__． (2)结合律：(a＋b)＋c＝__a＋(b＋c)__． 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算叫作a与b的差 __三角形__法则 a－b＝a＋(－b) 典 例 剖 析 【p65】

考点1 向量概念及其几何意义

例1给出下列命题：

①已知λ，μ∈R，则(λ＋μ)a与a共线；

②若向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

→→

③若向量AB与CD是共线向量，则A，B，C，D必在同一直线上；

→→

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC；

→→

⑤已知O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足OP＝OA＋→→?ABAC?＋λ?，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的内心． →→??|AB||AC|?

其中正确的命题是________(填命题的序号)． 【解析】①由实数与向量的积，可知其正确．

②若其中一个是零向量，则其方向不确定，故不正确． →→

③AB∥CD，AB和CD可以共线，也可以平行，故不正确．

→→→

④若四边形ABCD是平行四边形，则AB綊DC，所以AB＝DC；若四边形ABCD中，AB＝→

DC，则AB綊CD，所以四边形ABCD是平行四边形，故正确．

→→ABAC→→→→⑤与分别表示AB与AC方向的单位向量，设它们分别为AB′与AC′，设以它们为两条→→|AB||AC|

→→→→→

邻边的平行四边形是一个菱形AB′P′C′，AP′平分∠BAC，AP＝λ(AB′＋AC′)与AP′的方向相同，

→→→

也平分∠BAC.由OP＝OA＋AP知P的轨迹为∠BAC的平分线，一定通过△ABC的内心，故正确．

【答案】①④⑤

【小结】向量的基本概念、几何意义常在客观题中出现，要求学生概念清晰，并能灵活运用．

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及线性运算+Word版含解析

考点2 平面向量的线性运算

→→例2(1)如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则OP＋OQ＝( )

→→→→

A.OH B.OG C.FO D.EO

→→

【解析】设a＝OP＋OQ，以OP、OQ为邻边作平行四边形，则夹在OP、OQ之间的对

→→→

角线对应的向量即为向量a＝OP＋OQ，由a和FO长度相等，方向相同，

→

∴a＝FO，故选C. 【答案】C

→→→1→→

(2)在△ABC中，已知D是AB边上的一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ等于( )

3

2112A. B. C．－ D．－ 3333

2→→→→→→→1→2→

【解析】∵AD＝2DB，即CD－CA＝2(CB－CD)，∴CD＝CA＋CB，∴λ＝.

333

【答案】A

→

(3)在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的中点，G为BE上一点，且GB＝2GE，设AB→→→＝a，AC＝b，试用a，b表示AD，AG.

→1→→11

【解析】AD＝(AB＋AC)＝a＋b.

222

→→→→2→→1→→AG＝AB＋BG＝AB＋BE＝AB＋(BA＋BC)

33

2→1→→1→1→11＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b. 333333

【小结】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略：

(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

考点3 向量共线的判定与应用

例3设a、b是不共线的两个非零向量．

→→→

(1)若OA＝2a－b，OB＝3a＋b，OC＝a－3b，求证：A、B、C三点共线；

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