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将上式的分子分母同时除以w2得：
（18）
在保持w2/w1为常数的情况下，对l2关于w2求导：
从而可以看出，当w2变化时，即使w1也随之变化从而保持相对工资w2/w1不变，第二时期的劳动供给量也会发生变化。第二时期的劳动供给量和其工资是呈正相关的。
4.6 假设一个人存活两期，其效用函数为lnC1?lnC2。
（a）假设这个人在其生命中的第一期劳动收入为Y1，在第二期为0。因此，第二期的消费为?1?r??Y1?C1?，收益率r可能是随机的。
（1）求这个人在选择C1时的一阶条件。
（2）假设r由确定变为不确定，而E?r?不变。C1如何对这一变化作出反应。 （b）假设这个人在第一期劳动收入0，在第二期为Y2。因此，第二期的消费为
Y2??1?r?C1。Y2是确定的，r同样可能是随机的。
（1）求这个人在选择C1时的一阶条件。
（2）假设r由确定变为不确定，而E?r?不变。C1如何对这一变化作出反应。 答：（a）（1）实际利率可能是随机的，定义r??Er???，其中?是一均值为零的随机误差项。
maxU?lnC1?E?lnC2? （1）
将C2代入式（1），可得：
U?lnC1?E?ln?1?E?r?????Y1?C1?? （2） ????对式（2）两边取导数可得：
U/C1?1/C1?E????1??1?E?r????/?1?E?r?????Y1?C1????0 （3）
化简（3）式得：1/C1?E??1/?Y1?C1????0。 （2）由于1/?Y1?C1?不是随机的，所以：
E??1/?Y1?C1????1/?Y1?C1?
并且经过简单的代数运算可以得出：
C1?Y1/2 （4） 985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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在这种情况下，C1并不受r的确定性的影响。即使r是随机变量，个人仅消费第一期收入的一半而将另一半储蓄起来。
（b）（1）在这种情况下，代表性个人在第一期没有收入，而在第二期收入Y2，因此需要最大化由（a）（1）规定的预期效用，即：
maxlnC1?lnC2s.?t.???C1?B
（5）
C2?Y2???1?E?r?????B1?Y2??1?E?r????C1 （6）
其中B1是代表性个人的贷款数。将（6）代入预期效用函数（1）得：
?U?lnC1?Eln??Y2??1?E?r????C1? （7）
在（7）中求关于C1的导数，得到一阶条件：
?U/C1?1/C1?E???1?E?r????/C2??0 （8）
利用两个变量的积的期望方程E?XY??E?X?E?Y??cov?X?，Y?,可得：
1/C1??1?E?r??E?1/C2??cov?1?E?r????，??1/C2? （9）
通过式（9）可以得到：
1/C1??1?E?r???1/C2???1?E?r??/??Y2??1?E?r??C1??Y2??1?E?r??C1??1?E?r??C1
?越高，可以看出上式中协方差是正的。意味着代表性个人不得不付出更多的借款利息，从而降低第二期的消费C2，1/C2变大，因此协方差是正的。
如果r是确定的，因此r?E?r?，因为此时??0，则（9）式可以变为：
1/C1??1?E?r???1/C2???1?E?r??/??Y2??1?E?r??C1??
可以整理为：
Y2??1?E?r??C1??1?E?r??C1
从中求解C1可以得到：
C1?Y2/2?1?E?r?? （10）
（2）如果r是不确定的，从（9）中还可以得出：
1/C1??1?E?r????E?1/C2??cov?1?E?r????，??1/C2?
因为1/C2是C2的凸函数，根据詹森（Jensen）不等式，E?1/C2??1/E?C2?，除此以外，因为协方差是正的，上式可以整理为：
1/C1??1?E?r??E?1/C2??cov?1?E?r????，??1/C2???1?E?r????1/E?C2???
将此不等式代入E?C2??Y2??1?E?r??C1，可得：
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即：
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C1?Y2/2?1?E?r?? （11）
由（10）可以知道，方程（11）的右边是在确定性条件下C1的最优选择。因此，如果r由确定变为不确定，而E?r?不变，C1的最优选择变小了。本质上说，如果个人在第二期支付的利率面临不确定性，他在决定第一期借款消费时必定会非常谨慎。
4.7 （a）用类似于推导方程（4.23）的论证方法来证明：家庭最优化要求
b/?1?lt??e??Et??wt?1?1?lt?1?????wt?1?rt?1?b/??。
（b）证明这一条件可由教材中方程（4.23）和（4.26）得出（注意［4.26］在各期都成立）。
答：（a）证明：假定家庭在t期增加其劳动供给，数量为?l。因此，这会为家庭带来更多的财富，从而使家庭可以在t?1期减少劳动供应，并且使各期的消费保持不变。如果家庭最优化其行为，这种边际变化不会改变其终生效用。家庭的总效用函数为：
（1）
家庭的代表性个人的t时期的效用函数为：
ut?lnct?bln?1?lt? （2）
从方程（1）（2）中可以得出，在t期工作的负边际效用为：
?U/lt?e??t?Nt/H???b/?1?lt??? （3）
因此，劳动供给量每增加?l的效用成本为：
e??t?Nt/H?b/?1?l?t?l
这一变化提高了t期的收入，为wt?l，家庭的人口增长率为en，因此在t?1期增加的人均财富为：e?n?1?rt?1?wt?l。
如果消费路径不变，需要决定在t?1期每人劳动供给可以减少多少。在t?1期每人放弃一单位劳动的成本为wt?1，即放弃e?n?1?rt?1?wt?l/wt?1单位劳动会导致每人收入减少
e?n?1?rt?1?wt?l。恰好等于上期增加劳动带来的额外的财富。预期的效用收益为：
将效用成本和效用收益联立，可得：
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因为e???t?1??Nt?1/H?e?n是确定的，并且Nt?1?Nten，所以上式可以化简为：
（4）
（b）考虑第t时期的家庭。假设家庭每个成员降低当前的消费，数量为?c，将增加的财富用于增加下一期的消费。下面是教材中（4.23）给定的公式，假定家庭的行为是最优的：
假设家庭每个成员第t时期增加劳动供给，数量为?l，将增加的财富用于增加下一期的消费。下面是教材中（4.26）给定的公式，假定家庭的行为是最优的：
得：
（5）
由于（4.26）和（5）在每期都成立，因此在t?1期，有：
（6）
将（5）和（6）代入（4.23）得：
两边同乘以wt，由于Et?wt??wt，从而：
（7）
这个条件和（a）中得出的一样。
4.8 一个具有可加性技术冲击的简化真实经济周期模型（布兰查德和费希尔，1989，第329-331页）。考虑一个由长生不老个人组成的经济。代表性个人最大化
，??0的期望值。瞬时效用函数u?Ct?是u?Ct??Ct??Ct2，??0。
假设C总处在使u??C?为正的区间里。
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