高中数学必修五《不等式及其基本性质》
教案
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§2.2 不等式及其基本性质
预备知识
?数与式的基本运算 ?数轴 重点
?比较两个实数的大小 ?不等式的解集 难点
?不等式的基本性质 ?比较式的大小 学习要求
?了解不等式的概念，
?熟练应用不等式的基本性质解题
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1. 不等式及其基本性质
我们先用天平来做两个实验． 实验1：
在天平的一端放一个实物(如一只玻璃杯)，另一端逐一加1g的砝码，观察天平平衡的情况．
当天平处在平衡状态，说明两端的 重量是相等的；当天平处在不平衡状态， 则两端的重量不等．在实验中你可以观 察到：
(1)天平平衡是可能的；
(2)天平不平衡状态是经常发生的， 图2-11(1) 图2-所谓平衡，往往也只能是近似地处于平衡 11(2) 状态．这说明实际生活中，除了等量关系外，更多的是不等量关系．
在数学上，等量关系用等号“=”表示，不等量关系用符号“?”或“<(?)”、“>(?)”表示，依次读作不等于、小于(不大于或小于等于)、大于(不小于或大于等于)．不等于关系不能反映大小关系，因此，我们更有兴趣的，是研究以“<(?)”、“>(?)”表示的不等量关系．用符号“<(?)”、“>(?)”表示量之间不等关系的式子，称为不等式．
用x表示天平右边实物的重量，图2-11(1)的表示x>1，读作x大于1；图2-11(2)表示x<2，读作x小于2． 课内练习1
1.请你用“>(?)”、“<(?)”表示你在实验中出现的不等量关系． 2.字母a,b,c,d,e,f所表示的数如图所示．用“>(?)” 、“<(?)”连接任意两 个字母．
实验2：
d e c f a b ? ? ? ? ? ? (天平实验图) -5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
第2题图
选图2-11中天平一种不平衡态．
(1)在天平两端增加或减少相等数量的砝码，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质1：不等式两边加上(或减去)同一个数或同一个式，不等号方向不变．例如 ? 7+3>5+3(即10>8)；
7>5 ? 7+(3?3-3)>5+(3?3-3)(即13>11)； ? 7-9>5-9(即-2>-4)．
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(2)在天平两端以同样倍数增加重量，天平的不平衡关系并不改变．这表示不等式的基本性质2：不等式两边同乘以(或除以)同一个正数，不等号方向不变．例如
7>5 ? 7?2>5?2 (即14>10)； 7>5 ? 7?2>5?2 (即3.5>2.5)；
7>5 ? 7?x>5?x, x>0．
但是若在一个不等式的两边同乘以或除以一个负数，情况会怎样呢？请你和我一起验证： 7>5 ? 7?(-2)<5?(-2)(即-14<-10)； 5>-7 ? 5?(-5)<(-7)?(-5)(即-25<35)； -3<-2 ? (-3)?(-4)>(-2)?(-4)(即3>)．
412这是不等式的基本性质3：不等式两边同乘以(或除以)同一个负数，不等号方向变向． 课内练习2
1. 因为3<5，所以
(1)3+2 5+2，根据 ； (2)3+(-2) 5+(-2)，根据 ． 2. 因为4>2，所以
(1)4?3 2?3，根据 ； (2)4?(-3) 2?(-3)，根据 ． 3. 用不等式表示下面的文字意思： (1)x与3的差大于0； (2)y与5的和小于1； (3)y的3倍不小于6． 4. 利用不等式的基本性质填空：
(1)不等式x+3>0的两边同减去3后，不等式成为 ；
(2)不等式y+6<2y-4的两边同加上4后，不等式成为 ；
1 (3)不等式x+7<-9的两边同乘以2后，不等式成
2为 ；
(4)不等式9x+18<18x+6的两边同除以9后，不等式成为 ；
1 (5)不等式-x+7<-9的两边同乘以-2后，不等式成
2为 ；
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(6)不等式9x+18<-18x+6的两边同除以-9后，不等式成为 ．
根据不等式基本性质1，对于任意两个实数a,b，有 ab ? a-b>0； a=b ? a-b=0．
(这里的记号“?”表示可以从左边关系，导出右边的关系，也可从右边关系，导出左边的关系)因此可以用求差法来判断两个数或两个式的大小．
65 例1 比较和的大小．
76 解 因为 所以
5635?361-=??<0， 67424256< ▍ 67 例2 比较x2+x和3x-2的大小，其中x为任意实数．
解 因为 (x2+x)-( 3x-2) =x2+x-3x+2 =(x2-2x+1)+1 =(x-1)2+1>0，
所以 (x2+x)>( 3x-2) ▍
应用求差法还可以证明：若a>b,b>c, 则a>c．这个性质称为不等式的传递性 课内练习3
1. 比较下列各组中两个实数的大小：
123 (1)和； (2)-3和-4； (3)12.3和12．
3342. 比较下列各组中两个式的大小(式中的x是任意实数)：
(1)(x+1)2和2x+1；(2)(x+5)(x+7)和(x+6)2．
2. 数集的区间表示法
在§1解一元一次不等式时，你已经知道它的解是一个数集，称为解集；即将学习的其它类型不等式的解，一般也是数集．此前的数集都是用特征描述法来表示的，为了更方便地表示数集，下面介绍一种新的、更为简单的区间表示法．
(1)开区间(a, b)：(a,b)表示{x?a a b 图2-x a 图2-12(2) b x a 图2-12(3) b x 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 精品文档 (4)左闭右开区间[a,b)：[a,b)表示{x?a?x a b x a x a x 图2-图2-图2-12(5) 12(6) 2-12(7)； (7)左无界右开区间(-?,b)：(-?,b)表示{x?x (8)左无界右闭区间(-?,b]：(-?,b]表示{x?x?b}，如图2-12(8)． 图2-12(7) b x 图2-12(8) b x 例如不等式x+3<6的解集{x?x<3}是区间(-?,3)；不等式x+3?5的解集{x?x?2}是区间[2,+?)；不等式5x?2的解集{x?x?2} 5是区间(-?,]；而不等式2(3+x)>3(3+x)的解集{x?x<-3}是区间(-?,-3)． 课内练习4 1. 以区间法表示下列数集，并在数轴上出来： (1){x?x<-1}；(2){x?x?0}；(3){x?x>}；(4){x?x?-}． 2. 解下列不等式，以区间法表示其解集，并在数轴上表示出来： (1) x+2<3； (2) 1-x>10； (3) 5x+2?3x-8； (4) 1-x?4(x+2)． 课外习题 A组 1. 用“>”或“<”填空： (1)15+6 13+6； (2)9-4 7-4； (3)6+(-2) 5+(-2)； (4)8+x 10+x； (5)3?2 7?2； (6)4?(-3) 5?(-3)． 2. 用“>”或“<”表示下列实数的大小关系： 111121 (1)和； (2)?2和?； (3)和5； (4)?1和． 2233711231225133. 用不等式表示： (1)x与b的和不小于5； (2)y的倍小于-1； 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除 12精品文档 (3)x与3的差的2倍大于0； (4)y与-的和不大于6． 4. 在数轴上表示下列数集： (1){x?x<-2}； (2){x?x?3.5}； (3){x?x?0}； (4){x?x>-4}． 5．解下列不等式，并把解集在数轴上表示和以区间形式表示： (1)x+3<5；(2)x的2倍不大于x与3的和． B组 1. 用不等式表示： (1)x与3的和不小于5； (2)两个数的平方和大于0； (3)代数式3a+2小于1； (4)代数式4x+8是负数； (5)代数式2a-1不是负数． 2. 解出题1中5个不等式． 3. 比较下列两式，求出确定大小的范围： (1)x2-2x+1与0； (2)(x+2)2与x2+2； (3)3x+1与2x-5； (4)-2-5x与8-6x． C组 1. 设a>0, b>0，比较下列两式的大小： bbaa?1 (1)与； (2)与． a?1abb132. 证明：若a>b>0，则1<1． ab3. 用 “>”,“=”,“<”, “?”, “?” 连接： 11 (1)(-1)2 -12； (2)?-? ；(3)(-2)3 -2； (4)?a? a． 224. 若a>b, c>d，那么a+c>b+d成立吗？a-c>b-d成立吗？若不成立，应作 怎样的修改使之成立？ 5．解下列不等式 (1)7x+5>8x+6； (2)6x-3?4x-4； (3)2(2-3x)<3(x-2)． 收集于网络，如有侵权请联系管理员删除
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