若limun?1unn??????1时????，则有???1时????1时????un?1?n收敛?un?1?n发散
?un?1n待定4°：根值法
????1时????，则当???1时????1时????un?1?n收敛若limnn??un?un?1?n发散
?un?1n待定（2） 交错级数的审敛法
?莱布尼兹定理：若交错级数?(?1)n?1un（un?0）满足：
n?11°：un≥un?1 2°：limun?0
n???则?(?1)n?1un收敛，且其和S≤u1，|rn|≤un?1．
n?1（3） 任意项级数的审敛法
?1°：若limun?0，则?un发散；
n??n?1??2°：若?|un|收敛，则?un绝对收敛；
n?1n?1???3°：若?|un|发散， ?un收敛，则?un条件收敛．
n?1n?1n?1二、 函数项级数 1． 基本概念
?（1） 定义：形如?un(x)?u1(x)?u2(x)???un(x)??；
n?1（2） 收敛点、发散点、收敛域、发散域；
n（3） 部分和：Sn(x)??ui?1i(x)；
?（4） 和函数：在收敛域上S(x)?limSn(x)?n???un?1n(x)．
2． 幂级数
（1） 定义：?an?x?x0?，当x0?0时有：?anxn；
nn?0n?0??（2） 性质
?n?1°：若?anx在x0处收敛，则当|x|?|x0|时，?anxn绝对收敛（发散）；
n?0n?0?n? 若?anx在x0处发散，则当|x|?|x0|时，?anxn发散．
n?0n?0?2°：幂级数
?n?0an?x?x0?n的收敛域，除端点外是关于x0对称的区间
(x0?R,x0?R)，两端点是否属于收敛域要分别检验．
3°：在?anxn的收敛区间??R,R?内，此级数的和函数S(x)连续．
n?0?（3） 收敛区间的求法
1°：不缺项时，先求??liman?1ann??，得收敛半径R?1?；
再验证两端点，则收敛域＝(x0?R,x0?R)∪收敛的端点． 2°：缺项时，先求limun?1(x)un(x)??(x)，解不等式?(x)?1得x的所属区间
n??x1?x?x2，再验证端点x1，x2，则收敛域＝(x1,x2)∪收敛的端点．
3． 幂级数的运算
（1） 幂级数在它们收敛区间的公共部分可以进行加、减、乘、除运算． （2） 幂级数在其收敛区间内可以进行逐项微分与逐项积分运算，即
??an?0nx?S(x)，|x|?R，则有：
n???n???anx???n?0???an?0?xn?n?????nan?0xnn?1?S?(x)，|x|?R；
?x0??n???anx?dx??n?0???n?0x0?anxdx?n?n?1n?0anxn?1??x0S(x)dx，|x|?R
4． 函数展开为幂级数
（1） 充要条件：若函数f(x)在点x0的某邻域内具有任意阶导数，则
?f(x)??n?0f(n)(x0)n!(x?x0)n?limRn(x)?0．
n???（2） 唯一性：若f(x)在某区间内能展开成幂级数f(x)??an?0nn(x?x0)，则其系数
an?1n!f(n)(x0)，（n?0,1,2,?）．
（3） 展开法：
1°：直接法（见教材P218）
2°：间接法
利用几个函数的展开式展开
?e?x?n?0xnn!?，(??,??)
2n?12n?1sinx??(?1)n?0?nx?(2n?1)!x2n或?(?1)n?1n?1x(2n?1)!，(??,??)
cosx??(?1)n?0?n(2n)!，(??,??)
11?x??xn?0n，(?1,1)
ln?1?x????(?1)n?0?nxn?1(n?1)，(?1,1]
?1?x?m?1??n?1m(m?1)(m?2)?(m?n?1)n!x，(?1,1)
n5． 傅立叶级数
（此内容只适用于快班） （1） 定义：如果三角级数
傅立叶公式给出，即
an?1a02???an?1?ncosnx?bnsinnx?中的系数an，bn是由尤拉——
?????f(x)cosnxdx，n?0,1,2,?；
bn?1?????f(x)sinnxdx，n?1,2,?
则称这样的三角级数为f(x)的傅立叶级数． （2） 收敛定理
设f(x)是周期为2?的周期函数，如果它在一个周期内满足：连续或只有有限个第一类间断点；单调或只有有限个极值点，则f(x)的傅立叶级数
a02????an?1ncosnx?bnsinnx?收敛于f(x)???f(x?0)?f(x?0)?2?x为连续点x为间断点．
（3） 函数f(x)展开为傅立叶级数的方法：
1°：求f(x)的傅立叶系数；
2°：将1°中的系数代入三角级数式；
3°：写出上式成立的区间．
（4） 正弦级数与余弦级数
?称?bnsinnx（an?0）为正弦级数；称
n?1a02???an?1ncosnx（bn?0）为余
弦级数．
若在???,??上，f(x)为奇函数，则有an?0，其正弦级数为?bnsinnx，
n?1?bn?2???0f(x)sinnxdx，（n?1,2,?）；
若在???,??上，f(x)为偶函数，则有bn?0，其余弦级数为
a02???an?1ncosnx，an?2???0f(x)cosnxdx，（n?0,1,2,?）；
若f(x)是定义在?0,??上的函数，要求其正弦（余弦）级数，可先对f(x)进行奇（偶）延拓；
?f(x)奇延拓：F(x)????f(?x)x??0,??x????,0?x?[0,?]x?[??,0)
偶延拓：F(x)???f(x)?f(?x)
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