对于周期为2l的函数的展开情况与上边类似（略）．
第十二章 微分方程
一、 基本概念
1． 微分方程：含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程．
2． 微分方程的阶：微分方程中未知函数的导数的最高阶数叫微分方程的阶． 3． 微分方程的解：
满足微分方程的函数叫微分方程解；
若微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解；
确定了通解中任意常数以后所得的解叫微分方程的特解．
4． 初始条件：用来确定通解中任意常数的条件叫初始条件． 二、 一阶微分方程的解法
一阶微分方程的形式通常记为：
F(x,y,y?)?0或y??f(x,y)或P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0．
常见一阶微分方程有： 1． 可分离变量微分方程
能化成g(y)dy?f(x)dx的一阶微分方程叫可分离变量的微分方程．通常有
dydx?g(y)?f(x)或M1(x)?N1(y)dx?M2(x)?N2(y)dy?0，
分离变量，两边积分可得通解． 2． 齐次微分方程
一阶方程
dydx?f(x,y)中的f(x,y)可表示成
yx的函数，即f(x,y)????y??，x??则称此方程为齐次方程．
解法：令u?yx，则
dydx?u?xdudx代入原方程便得可分离变量微分方程．
3． 一阶线性微分方程
形如
dydx?P(x)?y?Q(x)或
dxdy?P(y)?x?Q(y)的方程叫一阶线性非齐次微分
方程。Q?0时，为一阶线性齐次微分方程．
dydx?P(x)dx?P(x)?y?0的通解为y?ce?．
用常量变易法得
dydx?P(x)?y?Q(x)的通解为：
?P(x)dx??P(x)dxdx?c?． y?e?Q(x)e?????4． 贝努利方程
形如
dydx?P(x)?y?Q(x)?y（n?0,1）的方程叫贝努利方程．
n解法：两边同除以yn，令y1?n?z，便得一阶线性非齐次微分方程． 5． 全微分方程（普通班不要求）
若方程P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0满足
?P?y??Q?x，即Pdx?Qdy为某二元函数
u(x,y)的全微分，则称此方程为全微分方程．
其通解为：u(x,y)?u(x,y)??xx0xP(x,y0)dx??yy0Q(x,y)dy?C或
?yy0Q(x0,y)dx??x0P(x,y)dy?C．
三、 可降阶的高阶微分方程
1． y(n)?f(x)型
接连n次积分，可得此方程的含有n个相互独立的任意常数的通解． 2． y???f(x,y?)型
dpdx令y??p，则y???的通解．
3． y???f(y,y?)型
，代入原方程，并依次解两个一阶微分方程便可得此方程
令y??p，则y???dpdx?dpdy?dydx?pdpdy，代入原方程，得到一阶微分方程
pdpdy?f(y,p)．解此一阶微分方程，得到y??p??(y,C1)，然后分离变量并积分
便可得此方程的通解．
四、 线性微分方程解的结构
y???p(x)y??Q(x)y?0…………………………（1）
y???p(x)y??Q(x)y?f(x)……………………（2）
称（1）为二阶线性齐次微分方程，称（2）为二阶线性非齐次微分方程． 1°：若y1，y2是（1）的两个解，则线性组合C1y1?C2y2也是（1）的解． 2°：若y1，y2是（1）的两个线性无关的解，则y?C1y1?C2y2就是（1）的通解． 3°：若y1，y2是（2）的两个解，则y?y1?y2就是（1）的一个解．
4°：若y是（1）的通解，y*是（2）的一个特解，则y?y?y*就是（2）的通解． 5°：若（2）中的f(x)?f1(x)?f2(x)，且y1是y???p(x)y??q(x)y?f1(x)的特解，y2
是y???p(x)y??q(x)y?f2(x)的特解，则y*?y1?y2就是（2）的特解． 五、 二阶线性常系数微分方程
1． 齐次：y???py??qy?0………………………………（1）
其特征方程为：r2?pr?q?0………………………（2）
1°：若r1，r2为（2）的不等二实根，则（1）的通解为：y?C1e1?C2erxr2x****．
2°：若r1，r2为（2）的相等二实根，则（1）的通解为：y?(C1?C2x)e1． 3°：若r1,2????i为（2）的一对共轭复根，则（1）的通解为：
y?en阶（n?2）的略．
?xrx(c1cos?x?c2sin?x)．
2． 非齐次
??? y?py?qy?f(x)…………………………（1）
相应齐次方程为：y???py??qy?0…………（2） 方程（1）的通解y?（2）的通解y?（1）一个特解y． y已解决，这里关键是求y：
?x1°：若f(x)?ePm(x)，其中Pm(x)为x的m次多项式，此时令
**y?xeQm(x)，这里Qm(x)为系数待定的m次多项式．
*k?x?0?k??1?2?当?不是特征方程的根时当?是特征方程的单根时当?是特征方程的重根时
2°：f(x)?e?x?Pl(x)cos?x?Pn(x)sin?x?（其中Pl(x)、Pn(x)分别为l、n次多项式）
此时令y*?xke?x?Qm(x)cos?x?Rm(x)sin?x?，此处m?max{l,n}；Qm(x)、
?0Rm(x)是两个m次系数待定的多项式，k???1当??i?不是特征根时当??i?是特征根时．
〈二〉强化训练
试卷一
一、填空题（每小题4分，共20分） 1．
limxy2?xy?2?
3(x,y)?(0,0)222． 已知D：x?y≤1，y≥0，则??(xcosy?y)dxdy?
D3． 设
?xydx?yxdy(x?y)?22m2222（其中x?y?0）是某二元函数的全微分，则m?
4． 幂级数?n?1的和函数是S(x)? 2n?1dydx22x2n?15． 微分方程?dydx?6y?0的通解是
二、选择题（每小题4分，共20分）
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