五、M?2?(1?63)15，x?y?0，z?112?414(1?63)
六、证明略
试卷三
一、填空题（每题4分，共20分） ?1?1． lim??y??sin?xy??x?0?x?y?2xy2． 设u?z则du?
??3．
?20dy?2ysinxxdx?
4． L为圆周??x?2cost?y?2sint，0≤t≤2?，则?(x?y)ds?
L2235． 设二阶线性非齐次微分方程的三个特解为y1?x，y2?x?sinx，y3?x?cosx，则此方程的通解为 二、选择题（每题4分，共20分）
22?x?y?z?1． 曲线?在点(3,1,4)处的切线对y轴的倾角为（ ）． 2??x?3（A）
?4 （B）
?2 （C）
3?4 （D）?
2． 设D??(x,y)|x?y?1?，f(?x,y)?f(x,y)，f(x,y)为连续函数，则有（ ）
22成立．
（A）??f(x,y)d??0 （B）??f(x,y)d??2DDx?y?1,x?02??2f(x,y)d?
（C）??f(x,y)d??2??f(x,y)d? （D）??f(x,y)d??4??f(x,y)d?
Dx2?y2?1,y?0Dx2?y2?1,x?0,y?03． 已知
(x?ay)dx?ydy ）．
(x?y)2为某二元函数的全微分，则a?（ （A）?1 （B）0 （C）1 （D）2
?4． 若?(x?k)n在x?2点收敛，则k的取值范围是（ ）．
n?1n（A）1＜k≤3 （B）1≤k≤3 （C）2＜k≤3 （D）2≤k＜35． 具有特解y1?e?x，y2?2xe?x，y3?3ex的三阶线性常系数齐次微分方程是（ （A）y????y???y??y?0 （B）y????y???y??y?0 （C）y????6y???11y??6y?0 （D）y????2y???y??2y?0
三、计算下列各题（每题5分，共25分） 1． 已知由x2z?lnzy确定了z?z(x,y)，求
?z?x?y．
2． ?22x?x20dx?0x2?y2dy．
3． ?(x2?y2)ds，其中L是以(0,0)、(2,0)、(0,1)为定点的三角形边界．
L
4． 将函数y?1x2展开为x?1的幂级数．
）．
5． 求微分方程y????y???3y??3y?0的通解．
四、求解下列各题（每题7分，共21分） 1． 计算I????(xy?yz?zx)dS，其中?为锥面z?x?y被柱面x?y?2ax所截
2222得的部分．
2． 设函数?(x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分
??3??(x)?2?(x)?xe?ydx2xL???(x)dy
与路径无关，求函数?(x)．
?3． 求幂级数?n?1nn!?xn?1的和函数，并求?n?1n2?n!n的和．
五、（本题满分共8分）在第一卦限内作球面x2?y2?z2?1的切平面，使切平面与坐标
面所围四面体的体积最小，并求切点的坐标与最小四面体体积．
六、（本题满分6分）设f(x)是[a,b]上的正值连续函数，试证??Df(x)f(y)dxdy≥(b?a)，
2其中D为：a≤x≤b，a≤y≤b．
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