1.1.2 瞬时变化率-导数(优秀经典公开课比赛教案)(1)教案

1.1.2 瞬时变化率-导数（1）教案 新人教A版选修2-2

教学目标：1．理解并掌握曲线在某一点处的切线的概念；

2．理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法； 3．理解切线概念实际背景，培养学生解决实际问题的能力和培养学生转化 问题的能力及数形结合思想．

教学重点：理解并掌握曲线在一点处的切线的斜率的定义以及切线方程的求法． 教学难点：用“无限逼近”、“局部以直代曲”的思想理解某一点处切线的斜率． 教学过程：

一、问题情境 1．问题情境．

如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢？

如果将点P附近的曲线放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去有点像是直线．

如果将点P附近的曲线再放大，那么就会发现，曲线在点P附近看上去几乎成了直线．事实上，如果继续放大，那么曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l，该直线l是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线．

因此，在点P附近我们可以用这条直线l来代替曲线，也就是说，点P附近，曲线可以看出直线（即在很小的范围内以直代曲）．

2．探究活动．

如图所示，直线l1，l2为经过曲线上一点P的两条直线，

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（1） 试判断哪一条直线在点P附近更加逼近曲线；

（2） 在点P附近能作出一条比l1，l2更加逼近曲线的直线l3吗？ （3） 在点P附近能作出一条比l1，l2，l3更加逼近曲线的直线吗？ 二、建构数学

切线定义: 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，直线PQ称为曲线的割线． 随着点

Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近逼近曲线C，当点Q无限逼近点P时，直线PQ最

终就成为经过点P处最逼近曲线的直线l，这条直线l也称为曲线在点P处的切线．这种方法叫割线逼近切线．

思考：如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？ 三、数学运用

例1 试求f(x)＝x在点(2，4)处的切线斜率． 解法一 分析：设P(2，4)，Q(xQ，f(xQ))， 则割线PQ的斜率为：

2kPQ＝f(xQ)－4xQ－2＝xQ2－4xQ－2＝xQ＋2

当Q沿曲线逼近点P时，割线PQ逼近点P处的切线，从而割线斜率逼近切线斜率； 当Q点横坐标无限趋近于P点横坐标时，即xQ无限趋近于2时，kPQ无限趋近于常数4． 从而曲线f(x)＝x在点(2，4)处的切线斜率为4． 解法二 设P(2，4)，Q(xQ，xQ)，则割线PQ的斜率为：

2

2

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(2＋?x)2－4kPQ＝?x 24?x＋?x＝＝4＋?x?x当?x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数4，从而曲线f(x)＝x，在点(2，4)处的切线斜率为4．

练习 试求f(x)＝x＋1在x＝1处的切线斜率．

解：设P(1，2)，Q(1＋Δx，(1＋Δx)＋1)，则割线PQ的斜率为：

2

2

2[(1＋?x)2＋1]－2kPQ＝?x2?x＋?x2＝

?x＝2＋?x当?x无限趋近于0时，kPQ无限趋近于常数2，从而曲线f(x)＝x＋1在x＝1处的切线斜率为2．

小结 求曲线y＝f(x)上一点处的切线斜率的一般步骤： （1）找到定点P的坐标，设出动点Q的坐标； （2）求出割线PQ的斜率；

（3）当?x??时，割线逼近切线，那么割线斜率逼近切线斜率． 思考 如上图，P为已知曲线C上的一点，如何求出点P处的切线方程？ 解 设P(x0，f(x0))，Q(x0＋?x，f(x0＋?x))

2

∴kPQ＝f(x0＋?x)－f(x0)f(x0＋?x)－f(x0)＝

(x0＋?x)－x0?x所以，当?x无限趋近于0时，的斜率．

变式训练

f(x0－?x)－f(x0)无限趋近于点P(x0，f(x0))处的切线

?x1．已知f(x)＝x，求曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线斜率和切线方程； 2．已知f(x)＝x－12，求曲线y＝f(x)在x＝－1处的切线斜率和切线方程；

3．已知f(x)＝1－x2，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率和切线方程．

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12课堂练习

已知f(x)＝x，求曲线y＝f(x)在x＝处的切线斜率和切线方程． 四、回顾小结

1．曲线上一点P处的切线是过点P的所有直线中最接近P点附近曲线的直线，则P点处的变化趋势可以由该点处的切线反映（局部以直代曲）．

2．根据定义，利用割线逼近切线的方法, 可以求出曲线在一点处的切线斜率和方程． 12五、课外作业、 六、教学反思：

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