导数及其应用测试卷
(满分160分，时间120分钟)
一、填空题(本大题共有14小题，每小题5分，共70分)
f（1＋h）－f（1）
1．已知函数f(x)＝x2－x，那么当h→0时，→________．
h
2．函数y＝sinx的图象在点(π，0)处的切线方程为________． 3．对于函数f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则实数x0的值为________．
x21
4．已知曲线y＝－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为________．
42
5.设f(x)是偶函数，若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1，则该曲线在 (－1，f(－1))处的切线的斜率为________．
a5
6．设a∈R，函数f(x)＝ex－x是奇函数，若曲线y＝f(x)的一条切线的斜率是，则切点e2
的横坐标为__________．
7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则实数a的取值范围是________．
8．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x＋b是曲线y＝alnx的切线，则当a＞0时，实数b的最小值是________．
9．函数y＝x＋2cosx在[0，π]上的最小值是________．
11
10．若函数f(x)＝x4＋ax3＋x2＋b(a，b∈R)仅在x＝0处有极值，则实数a的取值范围
42
是________．
?f（x），x≥0，?
11．已知函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，g(x)＝?(f′(x)为f(x)的导函数)．若方程
?f′（x），x＜0，?
g(f(x))＝0有四个不等的实根，则实数a的取值范围是__________．
12.已知定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x) 1m 13．若函数f(x)＝ex＋x3－x－1的图象有且只有两点P1，P2，使得函数g(x)＝x3＋的 2x 图象上存在两点Q1，Q2，且P1与Q1，P2与Q2分别关于坐标原点对称，则实数m的取值集合是__________． 11? 14．若函数f (x)＝x－1－alnx(a＜0)对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4??x1－x2?，则实数a的取值范围是________． 二、解答题(本大题共有6题，共90分) 15. (本题满分14分)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R.曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0，6)． (1)确定实数a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值． 1 16．(本题满分14分) 设函数f(x)＝x3－ax2－ax，g(x)＝2x2＋4x＋c. 3 (1)试问函数f(x)能否在x＝－1处取得极值？说明理由； (2)若a＝－1，当x∈[－3，4]时，函数f(x)与g(x)的图象有两个公共点，求c的取值范围． 17.(本题满分14分)已知函数f(x)＝(a＋1)x2－2ax－2lnx. (1)求证：a＝0时， f(x)≥1恒成立； (2)当a∈ 时，求f (x)的单调区间． 18．(本题满分16分)一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O和一个矩形ABCD构成．AB＝1米，如图所示，小球从A点出发以大小为5v的速度沿半圆O轨道滚到某点E处后，经弹射器以6v的速度沿与该半圆O在点E处的切线垂直的方向弹射到落袋区BC内，落点记为F.设∠AOE＝θ弧度．小球从A到F所需时间为T. (1)试将T表示为θ的函数T(θ)，并写出定义域； (2)求当时间T最短时cosθ的值． 第18题图 19.(本题满分16分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b (a，b∈R)． (1)试讨论f(x)的单调性； (2)若b＝c－a(实数c是与a无关的常数)，当函数f(x)有三个不同的零点时，a的取值范 33 围恰好是(－∞，－3)∪(1，)∪(，＋∞)，求c的值． 22 1 20. (本题满分16分)已知函数f(x)＝a(x－)－lnx，x∈R. x (1)若a＝2，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若a>0，求函数f(x)的单调区间； a (3)设函数g(x)＝－.若至少存在一个x0∈[1，＋∞)，使得f(x0)>g(x0)成立，求实数a的 x 取值范围．
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