高等数学复习资料

高等数学复习·上

寄语：亲爱的学弟，学妹们。期末将至，班主任助理小组为大家准备了一些关于高数的复习资料。请大家做好考前准备，预祝大家取得优异的成绩。亲~ 一定要看哦！ 考试内容、重点问题与方法（按照考试提纲总结的） 第一部分：函数极限的计算 （1） 函数值的计算 （2） 连续性的判断 （3） 未定式极限的求法 （4） 洛比达法则的应用 常用的极限公式

1?0n??nklimna?1(a?0)n??1limk?0x??x limnn?1

n??limqn?1?0(|q|?1)limpn(x)?pn(xo)n??limx?xolimx?xonnn?xosinx1?1(\1\极限)lim(1?)n?ex?0n??xnsinxcosx1lim?lim?0 lim(1?)x?e x??x??x??xxx1(无穷小乘以有界函数仍为无穷小)lim(1?x)x?elimx?01limxsin?0x?0xlimxsinx??1?limxx??1xsin1x?111?limxsin?limx?0x?0xx?0xx?0112 limxsin?limxsin?limx??

x??xx??xx??limx2sin常见的等价无穷小

sinx~xtanx~x1?cosx~arcsxin~xarctaxn~x112x?1~?x2 x cos22ln1(?x)~xex?1~x(1?x)??1~?x

(1?x)?1~1n1xn第 1 页 共 14 页

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第二部分：导数的计算 （1） 包括初等函数，隐函数及参数方程及抽象函数的一阶，二阶或高阶导数概念与

求法；

（2） 包括导数概念，几何意义以及连续、导数与微分的关系。

导数的基本公式

(c)??0(sinx)??cosx(tanx)??sec2x(secx)??secxtanx(ax)??axlna1(logax)??xlna

1(arcsinx)??1?x21(arccosx)???1?x2 1(arctanx)??1?x21(arccotx)???1?x2

高阶导数

(xu)??uxu?1(cosx)???sinx(cotx)???csc2x(cscx)???cscxcotx(ex)??ex(ln|x|)??1x(xn)(n)?n!(x)n(n?k)?0(k?1、2、3...)

(n)（ex）?ex（a）?alnax(n)xn

π

(sinx)(n)?sin(x?n?)2 π (n)（cosx）?cos(x?n?)2

1(n)(?1)nn! ()?x?a(x?a)n?1

幂指型函数求导

指数求导法

①求y?xsinx一阶导数. y?xsinx?elnx?esinxlnx?eu,u?sinxlnxdydu1sinxy????eu(cosxlnx?sinx?)?xsinx(cosxlnx?)dudxxx第 2 页 共 14 页

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对数求导法

②求y?xsinx一阶导数lny?sinxlnx左右同时对x求导1sinx ?y??cosxlnx?yxsinxsinx?y??y(cosxlnx?)?xsinx(cosxlnx?)xx抽象函数求导

③已知y?f(sin2x),f可导，求y?.解：y?f(u),u?v2,v?sinx?y??f?(u)?2v?cosx?f?(sin2x)?2sinx?cosx?f?(sin2x)sin2x隐函数求导

分清自变量，因变量；将函数方程关于自变量求导；解出所求导数。④x2?y2?1求y?.将x2?y2?1关于x求导。2x?2y?y??0y???xy

参数函数求导

d2y⑤设曲线x?2e,y?e求2|t?0？dxdydydydtdt?e?t1?2tdy1解:??????e,t?0时，??dxdtdxdx2et2dx2dt 1d(?e?2t)dy112d()d(?e?2t)d(?e?2t)2?2tdydte1?3tdx?dt22??????e2tdxdxdxdxdtdx2e2dtd2y1t?0时，2?dx2t?t

第三部分：导数的应用问题，是微分学的重点问题 （1） 包括微分中值定理的应用； （2） 单调性与极值，最值求法； （3） 曲线的凹凸性与拐点，水平渐近线与铅直渐近线； （4） 零点定理与罗尔定理的应用； （5） 方程根的存在性与唯一性的证明。

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???第四部分： （1） 不定积分的求法； （2） 包括原函数与不定积分的概念与性质。 常见的积分表

xu?1u xdx??cu?1 kdx?kx?c1 1dx?arcsinx?c2dx?arctanx?c1?x 21?x1

dx?sec2xdx?tanx?c2sinxdx??cosx?ccosx

???1?xdx?ln|x|?c?cosxdx?sinx?c12?sin2xdx??cscxdx??cotx?cxxedx?e?c???sec x tan xdx?secx?cxa dx??c?alna x?cscxcotxdx??cscx?c xdx??ln|cosx|?c?tan ?cot xdx?ln|sinx|?c xdx?ln|secx?tanx|?c?sec

xdx?ln|cscx?cotx|?c?csc不定积分的求法 公式法

11xdx?arctan()?c?a2?x2aa1xdx?aarctan()?c?a2?x2a11x?adx?ln||?c?x2?a22ax?a2x3①?dx44?x 34414x1d（?x）1d（4?x）1解：??dx?-?-??-ln|4?x4|?c444?24?x24?x24?x2换元积分法

第一换元法（凑微分法）1?x21?x2?x22②?xedx???ed(?x)??e?c22sin2x2sinxcosxd(cos2x)d(cos2x)③?dx??dx???????-arctan(cos2x)?c444221?cosx1?cosx1?cosx1?(cosx）第二换元法1④?sin(x?1)dx211u?x?1?sinu?2du?2?sinudu??2cosu?c??2cos(x?1)?c22dx?2du

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