中考三轮冲刺：《相似综合训练》
1．已知：已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AC、BC上的点，连DE，且
＝
，tanB＝
，如图1．
（1）如图2，将△CDE绕C点旋转，连AD、BE交于H，求证：AD⊥BE； （2）如图3，当△CDE绕C点旋转过程中，当CH＝
时，求
AH﹣BH的值；
（3）若CD＝1，当△CDE绕C点旋转过程中，直接写出AH的最大值是 2
．
（1）证明：如图2中，设BE交AC于O．
∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACD＝∠ECB， ∵＝， ∴
＝
，
∴△ACD∽△BCE， ∴∠DAC＝∠EBC， ∵∠AOH＝∠BOC， ∴∠AHO＝∠BCO＝90°， ∴AD⊥BE．
＝
1
（2）解：如图2中，在HB上取一点T，使得HT＝AH，连接AT．
在Rt△AHT中，tan∠ATH＝＝
，
∵tan∠ABC＝
，
∴∠ATH＝∠ABC，
∵∠ATH+∠HAT＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°， ∴∠HAT＝∠CAB， ∴∠CAH＝∠BAT， ∴△AHT∽△ACB， ∴＝， ∴
＝
，
∴△CAH∽△BAT， ∴
＝
，
∵HT＝AH，设AH＝m，则HT＝m，AT＝
m，
∴
＝
， ∴BT＝．
（3）解：如图3中，
在Rt△AHB中，∵AH＝AB?sin∠ABH，
∴当∠ABH最大时，AH的值最大，此时CE⊥BE， ∵∠DCE＝∠CEH＝∠EHD＝90°， ∴此时四边形ECDH是矩形，
2
∴DH＝EC，∠ADC＝∠CDH＝90°， 由题意CD＝1，EC＝∴DH＝CE＝
＝
＝2．
，
＝
，
，AC＝
，
在Rt△ACD中，AD＝∴AH＝AD+DH＝∴AH的最大值为2故答案为：2
．
+
2．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，E为BC上一点，且BE＝1，∠AED＝90°，将△AED绕点E顺时针旋转得到△A′ED′，A′E交AD于P，D′E交CD于Q，连接PQ，当点Q与点C重合时，△AED停止转动． （1）求线段AD的长；
（2）当点P与点A不重合时，试判断PQ与A′D′的位置关系，并说明理由； （3）求出从开始到停止，线段PQ的中点M所经过的路径长．
解：（1）∵AB＝2，BE＝1，∠B＝90°， ∴AE＝
∵∠AED＝90°， ∴∠EAD+∠ADE＝90°，
∵矩形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAE+∠EAD＝90°， ∴∠BAE＝∠ADE， ∴△ABE∽△DEA，
3
＝＝，
∴， ∴
，
∴AD＝5；
（2）PQ∥A′D′，理由如下： ∵， ∴
＝
＝2
，
∵AD＝BC＝5，
∴EC＝BC﹣BE＝5﹣1＝4， 过点E作EF⊥AD于点F，
则∠FEC＝90°，
∵∠A'ED'＝∠AED＝90°， ∴∠PEF＝∠CEQ， ∵∠C＝∠PFE＝90°， ∴△PEF∽△QEC， ∴，
∵，
∴
，
∴PQ∥A′D′；
（3）连接EM，作MN⊥AE于N， 由（2）知PQ∥A′D′， ∴∠EPQ＝∠A′＝∠EAP，
又∵△PEQ为直角三角形，M为PQ中点，
4
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