则FH⊥AD，过N作NM⊥PC于M， ∴NF+NM的最小值即为FJ的长， ∴∴
＝＝
＝
，
，∵HJ＝CD＝AB＝3， ，
．
∴FJ＝
即NF+NM的最小值是
17．如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点D与原点O重合，AD，CD分别在x轴，y轴上，且AD＝8，CD＝6．将矩形ABCD绕点O按顺时针方向旋转a度得到矩形A′B′C′D，此时A′D与直线BC相交于点P． （1）当a＝60°时，
的值是
．
的值；
（2）如图2，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在y轴正半轴时，求
（3）如图3，当矩形A'B′C′D的顶点B'落在直线BC上时，求△OPB′的面积．
解：（1）∵a＝60°， ∴∠POC＝30°，
41
∴PC＝OC?tan∠POC＝6×则
＝
＝；
，
＝2，
故答案为：
（2）∵A′O∥B′C'，
∠POC＝∠C′B′O，又∠PCO＝∠B′C′O＝90°， ∴△PCO∽△OC′B′， ∴
＝
，即
＝，
解得，PC＝，
∴＝＝；
（3）由旋转可知∠B′A′O＝∠BAO＝90°，A′B'＝OC＝6， 在△OPC和△B′PA′中，
，
∴△OPC≌△B′PA′（AAS）， ∴PO＝PB′，
设PB′＝m，则OP＝m，PC＝8﹣m，
在Rt△OCP中，OC2+PC2＝PO2，即m2＝（8﹣m）2+62， 解得，m＝
×6＝
．
∴△OPB′的面积＝PB′?OC＝×
18．如图，在矩形ABCD中，BC＝1，∠CBD＝60°，点E是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接DE，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G （1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）设AE的长为x，△DEF的面积为y．求y关于x的函数关系式；
（3）当△BEF的面积S取得最大值时，连接BG，请判断此时四边形BGDE的形状，并
42
说明理由．
（1）证明：在矩形ABCD中， ∵∠A＝∠ADC＝∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠DCF＝90°， ∵DF⊥DE，
∴∠A＝∠EDF＝90°， ∴∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE∽△CDF；
（2）解：∵BC＝1，∠CBD＝60°，∠DCB＝90°， ∴CD＝
．
∵△ADE∽△CDF， ∴
＝
＝
＝
＝
，即DF＝
DE．
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2＝1+x2． 则S△DEF＝DF?DE＝DE2＝
（1+x2）＝
x2+
；
（3）解：当△BEF的面积S取得最大值时，四边形BGDE是菱形，理由如下：由（2）知，CD＝
．
则在矩形ABCD中，AD＝BC＝1，AB＝CD＝．
∵AE＝x， ∴BE＝
﹣x．
∵△ADE∽△CDF， ∴
＝
＝．
∴CF＝
x．
43
∴S＝∴当x＝此时BE＝∵CG∥BE，
＝（﹣x）（1+x）＝﹣（x﹣
）2+
．
时，S有最大值． ，CF＝1，BF＝2．
∴△CFG∽△BFE， ∴
＝
． ． ．
∴CG＝∴DG＝
∴BE＝DG，且BE∥DG． ∴四边形BGDE是平行四边形． 又∵BE＝BG．
∴平行四边形BGDE是菱形．
19．如图l，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB?AD，我们称该四边形为“可分四边形”∠DAB称为“可分角”．
（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝ 120° ．
（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，则AD＝
．
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