2020年九年级数学中考三轮冲刺：《相似综合训练》(含解析)

（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”， ∴AC2＝AB?AD， ∴

，

∵∠DAB为“可分角”， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴△DAC∽△CAB；

（2）解：如图所示： ∵AC平分∠DAB， ∴∠1＝∠2， ∵AC2＝AB?AD， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴△ADC∽△ACB， ∴∠D＝∠4， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，

∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°， ∴∠1+2∠1＝180°， 解得：∠1＝60°， ∴∠DAB＝120°； 故答案为：120；

（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”， ∴AC2＝AB?AD，∠DAC＝∠CAB， ∴AD：AC＝AC：AB， ∴△ADC∽△ACB，

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∴∠D＝∠ACB＝90°， ∴AB＝

＝

＝2

，

∴AD＝＝＝．

故答案为：

20．如图1，△ABC为等边三角形，AB＝6，直角三角板DEF中∠F＝90°，∠FDE＝60°，点D在边BC上运动，边DF始终经过点A，DE交AC于点G． （1）求证：△ABD∽△DCG； （2）设BD＝x，若

，求x的值；

（3）如图2，当D运动到BC中点时，点P为AD上一动点，连接CP，将线段CP绕点C逆时针旋转60°得到CP'，DP'． ①求∠CBP'的度数； ②求DP'的最小值．

解：（1）∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，

∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADG+∠CDG， ∴∠B+∠BAD＝∠ADG+∠CDG， ∵∠ADG＝60°， ∴∠BAD＝∠CDG，

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∵∠B＝∠C， ∴△ABD∽△DCG．

（2）由（1）知△ABD∽△DCG， ∴

，

∵BD＝x，CD＝6﹣x，AB＝6，CG＝，

代入得：，

解得：x＝2或4．

（3）①由旋转知∠PCP′＝60°，CP＝CP′ ∵△ABC是等边三角形． ∴AC＝BC，∠ACB＝60°． ∴∠ACP＝∠BCP′， ∴△ACP≌△BCP′（SAS）， ∠CBP′＝∠CAD＝30°． ②如图3，

根据“垂线段最短”可知，当DP′⊥BP′时，DP′最短．∵∠CBP′＝30°， ∴DP′＝BD＝1.5． 47