方差分析

比较（Comparison or Contrast），从定义上讲，就是各组均值赋予不同权重后的线性组合。（有人打断：尼玛能说人话么！！！！！！！！！额，先等我把这句话说完。。）这个线性组合满足条件：1）至少一个权重系数不为0；2）权重系数总和为0。

正交比较(Orthogonal Comparison)，是指在一组比较中，不存在任何多余的比较，即所有出现的比较都不能被写成其它出现的比较的线性组合的形式。换句话说正交比较是一组精简到不能再精简的比较，其最大比较数量为(p-1)。有人说我数学没那么好，我不知道如何证明一组比较为正交比较，怎么办？没关系，有人给出了一种简便的计算方法，用文字表达就是：把一组比较中每一列的权重系数求乘积，再把这些乘积求和，如果总和为0，则为正交比较。我线性代数不是太好，冒昧提一句正交(Orthogonal)的数学含义：一个单一比较是各组均值的线性组合，可以看成一个向量。所谓正交，就是两个或多个比较所代表的向量，在空间上处于垂直关系，或是向量积为0。

还是举个例子直观些。还是假设4个组的设计，则最多有（4-1）=3组正交比较。以下两个例子的3组比较均为正交比较。 比较 1 2 3

我们把这组比较中每一列的权重系数求乘积，再把这些乘积求和，则有 C=（1）（1）（0）+（1）（-1）（0）+（-1）（0）(1)+(-1)(0)(1) = 0

比较 A1 A2 A3 A4 A1 1 1 0 A2 1 -1 0 A3 -1 0 1 A4 -1 0 -1 1 2 3

-3 1 -1 -1 -1 3 1 -1 -3 3 1 1 C=(-3)(1)(-1)+(-1)(-1)(3)+(1)(-1)(-3)+(3)(1)(1) =3+3-3-3 =0

鉴于正交比较是效率最高的一种比较方式。我们在设计比较的时候，要尽可能的使用正交比较。在SPSS中的GLM模块中，缺省比较有6种（SPSS里用Contrasts这个选项来指代我提到的Comparison），一般来说可以涵盖绝大多数实验设计（如果是特殊的实验设计，可以在One-way ANOVA这个模块中自定义比较次数和分别的权重系数。）

这6种比较分别是：Polynomial, Repeated, Helmert, Difference, Simple, Deviation. 这6种比较的例子在上一篇文章中提到了5个，没有提到的Difference其实是把Helmert反过来，Helmert是逐渐往后比教，Difference是逐渐往前比较。Polynomial、Difference和Helmert属于正交比较，另外三个不是。

先简单说一下几种比较各自的特点： 1. Polynomial

就翻译为多项式比较吧。这个我想重点提一下，因为当我们方差分析模型为固定作用模型(fixed effect model)的时候，多项式比较是最能反映自变量对因变量的关系的。我们在这里举个例2。说测试广告呈现时间对产品评价的影响，心理学家找了160只大二选普通心理学课的学生（又是万恶的被试银行），随机平均分到四组中，每组40人。自变量为广告图片呈现时间，分别为3s，6s，9s，12s。因变量为被试对该产品的偏好分数，由不喜欢到喜欢0-10分打分。结果发现各组平均分为：第一组4.5,第二组6.0,第三组7.5,第四组5.0。总平均分为5.7，问广告呈现时间对产品评价有如何影响？

前面总体方差分析的过程我们略过，结果是广告呈现时间对产品评价分数有显著影响，p<0.05。下面我们就要进行比较的工作。

试想，四个数据最多有可能呈现哪几种关系呢？从多项式的角度，有且仅有三种：线性关系（一次关系），二次关系，和三次关系。

我们来看这个图，系列1反映了4个均值的线性关系，系列2反映了二次关系，系列3反映了三次关系。

方差分析简介（四）2011-03-13 07:16 | (分类:默认分类) 最基础的使用方差分析的实验设计是完全随机设计(Completely Randomized Design)。我们从三个角度来定义完全随机设计。

第一，随机分配（random assignment）。所有实验对象都被随机分配到实验组中。到底怎么个随机法呢？第一个步骤是随机抽样，根据所定义的总体，根据研究需要，随机抽取出一部分人作为样本。第二个步骤是随机分组，把这些随机抽取出来的人，不加任何限定和选择偏好地分配到各个实验组中。好比说要研究某种新药对大学生拖延症的治疗作用（我现在最讨厌这个毛病）。第一步，我们可以先从某大学的Subject Pool中（一般是选普通心理学课程的学生）随机抽取100人，当然这个随机在实际情况中并不是那么容易做到。比如说被试实际上是招募来的，那么

愿意来做实验和不愿意做实验的人很可能就分属两个总体。比如选这个课的人与没选这个课的人可能就分属两个总体。比如选了这个课的学生可能男女生数量差异还会比较大。这些问题都需要考虑，这里我们只是假设可以解决。第二步，再把这随机抽取的100人（其实是招募的100人）拉到实验室去抽签。一个盒子里放有写有ABCD的不同卡片。然后根据抽到卡片上的字母来分配到ABCD四个实验组。

第二，操纵自变量（manipulate independent variable）。四组的自变量设置分别为5mg安慰剂，5mg新药，20mg安慰剂和20mg新药。对，前文讲过比较（Comparison）。当我们这个实验设计确定了以后，比较也就应该安排好了。这里要强调的是，操纵自变量包括对比较的设计。这样有助于提高实验的Power。逻辑上不难，无非就是先比较药和安慰剂，再比较各自少量和多量的差别。三对比较构成一组正交比较。如图表所示。 Placebo vs. drug Small vs. big Small vs. big 第三，控制无关变量，测量自变量对因变量的作用。(measure the effects of IV to DV)。给这100名大学生在一个月内留四次有一定难度需要做一整晚的作业，每次都在周二留作业要求截止下周一交，并要求学生尽早完成。然后测量所有学生完成作业距离最终截止时间的小时数，作为拖延症的指标。

在以上条件下，我们可以预期，如果这种新药起作用且多吃一点儿更有效果的话，安慰剂组两个水平完成作业时间没有差别，而且都拖得比较晚，新药组20mg完成作业要显著早于5mg组，而5mg组又显著早于安慰剂组。

5mg placebo -1 -1 0 20mg placebo -1 1 0 5mg drug 1 0 -1 20mg drug 1 0 1