方差分析

用一句古话说不同的方差分析模型就是：知之为知之，不知为不知。

今天时间仓促，下次Power、样本量（Sample Size）预算、和对固定效应模型(Fixed Effect Model)vs.随机效应模型(Random Effect Model)的辨析。

所谓多项式比较，就是检验实际数据究竟更符合哪一种关系。为什么叫多项式比较呢？因为这种比较的模型是基于多项式模型。大家还记得那个泰勒展开式么？多项式比较的权重系数就是泰勒

展开式的权重系数。这里我就不多讲了，因为背景不是重点，重点是逻辑。多项式比较是一种正交比较，那么可以肯定是，如果使用多项式比较，我们将确定这四个均值只满足唯一的关系，换句话说，假如总体的方差分析结果显著，三个比较中有且仅有一个比较结果显著，而且这个显著的结果就告诉了我们这四个均值究竟符合线性关系、一次关系还是二次关系。我们也就描述出了因变量随自变量变化的变化趋势。太好了，方差分析的结论要的就是这个。 那么多项式比较的权重系数是怎样的呢？见下图表 多项式 一次关系假设 二次关系假设 三次关系假设 A1 -3 1 -1 A2 -1 -1 3 A3 1 -1 -3 A4 3 11 1 其实这个系数也很简单。以2为变化单位，在满足比较的基本条件下，我们简单画出一次函数，二次函数和三次函数的图（只要大概趋势），然后往里填数就可以了。 需要指出的是，在多项式比较中，每一个单独比较占用1个自由度。

简单说一下计算过程。（当然SPSS里可以直接计算）在多项式比较中，每个比较都为F检验。由于多项式比较为正交比较，各比较相互独立。于是则有：

应该看上去跟总体方差分析差不多吧。这里的n是指每组的人数。于是做多项式比较就是把组间变异分解为一次、二次、三次??N次关系的变异，然后再看那种关系解释最多的变异。

呼呼，多项式比较我觉得已经解释到吐血的，其它5个就一带而过吧。其实就是对应不同的实验设计的优化，都是F检验。 1. Repeated

例子见前文，就是1 vs. 2, 2 vs. 3, 3 vs. 4… 一步步的配对比较。

2. Helmert

例子见前文，从后往前的递进减少比较，可以认为是Stepwise Forward。

3. Difference

与Helmert相反，从前向后的递进减少比较，可以认为是Stepwise Backward。

4. Simple

例子见前文，将每个组的均值与一个特定值进行比较。这种比较尤其适用于有对照组的实验设计。（实验组X vs. 对照组）

5. Deviation

例子见前文，将每组的均值与总平均值进行比较。因素的水平可以以任意顺序排列。

需要提到的是，多项式比较虽然最好用，但它对数据的要求是最严格的。如果我们的数据比较好，尽量选用多项式比较。这样结果的说服力会很高。

运用适当的比较方式是提高实验Power的一个有效方法，另外一个有效的方法就是改进实验设计。那么心理学类研究中都有哪些实验设计呢？这些实验设计又对应着怎样的方差分析模型呢？我在后文中会逐渐提到。 方差分析简介（四）2011-03-13 07:16 | (分类:默认分类) 最基础的使用方差分析的实验设计是完全随机设计(Completely Randomized Design)。我们从三个角度来定义完全随机设计。

第一，随机分配（random assignment）。所有实验对象都被随机分配到实验组中。到底怎么个随机法呢？第一个步骤是随机抽样，根据所定义的总体，根据研究需要，随机抽取出一部分人作为样本。第二个步骤是随机分组，把这些随机抽取出来的人，不加任何限定和选择偏好地分配到各个实验组中。好比说要研究某种新药对大学生拖延症的治疗作用（我现在最讨厌这个毛病）。第一步，我们可以先从某大学的Subject Pool中（一般是选普通心理学课程的学生）随机抽取100人，当然这个随机在实际情况中并不是那么容易做到。比如说被试实际上是招募来的，那么愿意来做实验和不愿意做实验的人很可能就分属两个总体。比如选这个课的人与没选这个课的人可能就分属两个总体。比如选了这个课的学生可能男女生数量差异还会比较大。这些问题都需要考虑，这里我们只是假设可以解决。第二步，再把这随机抽取的100人（其实是招募的100人）拉到实验室去抽签。一个盒子里放有写有ABCD的不同卡片。然后根据抽到卡片上的字母来分配到ABCD四个实验组。

第二，操纵自变量（manipulate independent variable）。四组的自变量设置分别为5mg安慰剂，5mg新药，20mg安慰剂和20mg新药。对，前文讲过比较（Comparison）。当我们这个实验设计确定了以后，比较也就应该安排好了。这里要强调的是，操纵自变量包括对比较的设计。这样有助于提高实验的Power。逻辑上不难，无非就是先比较药和安慰剂，再比较各自少量和多量的差别。三对比较构成一组正交比较。如图表所示。 Placebo vs. drug Small vs. big Small vs. big

第三，控制无关变量，测量自变量对因变量的作用。(measure the effects of IV to DV)。给这100名大学生在一个月内留四次有一定难度需要做一整晚的作业，每次都在周二留作业要求截止下周一交，并要求学生尽早完成。然后测量所有学生完成作业距离最终截止时间的小时数，作为拖延症的指标。

在以上条件下，我们可以预期，如果这种新药起作用且多吃一点儿更有效果的话，安慰剂组两个水平完成作业时间没有差别，而且都拖得比较晚，新药组20mg完成作业要显著早于5mg组，而5mg组又显著早于安慰剂组。

5mg placebo -1 -1 0 20mg placebo -1 1 0 5mg drug 1 0 -1 20mg drug 1 0 1

用一句古话说不同的方差分析模型就是：知之为知之，不知为不知。

今天时间仓促，下次Power、样本量（Sample Size）预算、和对固定效应模型(Fixed Effect Model)vs.随机效应模型(Random Effect Model)的辨析。

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分享 方差分析简介（五）2011-03-17 05:40 | (分类:默认分类) 衡量一个研究要同时看它的统计意义和实际意义。统计意义在于实验处理使组间差异是否达到了显著。实际意义在于实验处理的效果究竟有多大，是不是足够大到可以应用到实际。事实上当样本量足够大的时候，即便是微小的实验处理的效果，也能达到显著的差异。换句话说，p值是由实验处理效应大小和样本量大小共同决定的。一个每组用6个被试达到显著性水平0.05的实验，很可能会比每组用70个被试达到显著性水平0.0001的实验更有说服力。那我们怎么判断一个实验处理到底有多大效应呢？我们应该用一些不受样本量大小影响的参数来衡量。事实上这已经成为方差分析必不可少的一部分。最新的APA格式已经要求作者不仅仅要报告α，还要报告β（其实就是Power）和效应量（Effect Size）。

这部分的知识，大家感兴趣可以搜索一下Cohen这个人。他在八十年代末九十年代初写了很多有关Power, Effect Size 和 Sample Size的计算与对样本参数的估计。需要注意的是，无论是关联强度（Strength of Association）还是效应量(Effect Size)都是对总体差异的描述。而在一次具体的研究中得出的参数是这个总体差异的估计值。我不想提这里面的数学原理和计算过程。一是对多数人包括我太复杂，二是知道了也没太大意义。我只是简单提一下两个大家可能会在研究报告中见到的参数以及其含义。