一d(x,y)、设证明：显然
为空间
~d(y,x)也是X上的距离。 X上的距离，试证：d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。
再者，
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y)；
1?d(y,x)1?d(x,y)最后，由
t1的单调增加性及d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得 ?1?1?t1?t~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)????1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)
?~~d(x,z)d(z,y)??d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设
二
p?1，xn?(?1(n),?,?i(n),)?lp，n?1,2,?，x?(?1,1p,?i,)?lp，则
n??时，
p??d(xn,x)????i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,?i?1?；
(2)???0，
存在
N?0，使得
i?N?1???i(n)??对任何自然数n成立。
?1p??(n)(n)???必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,?i?1?p由
p。
x?(?1,,?i,)?lp可知，
???0，存在
N1?0，使得
i?N1?1p?(n)????ii?()p。 ?i?1???p?i?()p2，并且
n?N1时，
2p由此可得，
i?N1?1???i(n)pp????????pp?????i(n)??i?????i????p对n?N1成立。
??i?N1?1??i?N1?1????11p对于
n?1,2,N1，存在N2?0，
i?N2?1???i(n)??pp。取
N?max?N1,N2?，则
i?N?1???(n)pi??p对任何自然数n成立。
充分性证明：由条件可知，
???0，存在K?0，使得
i?K?1???K(n)pi?()2??ip?p对任何自然数
n成立，并且
i?K?1???p?i?()p。
2由
?(n)i??i可知，存在N?0，使得n?N时，??i?1(n)i??p，并且
1
d(xn,x)???pi?1?(n)i??ip???i?1K(n)i??i?pi?K?1p???i(n)??ip
???i(n)??ii?1Kp???(n)p1pp1p???(??i)?(??i)??2?p。
i?K?1?i?K?1?三Lp[a,b](p?1)、在极限意义下，
上定义距离：
d(x,y)???bax(t)?y(t)dtp?1p，则在此距离诱导的
xn(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)xn(t)依测度收敛于x(t)；(2)?xn(t)?在[a,b]上具有等度绝对连续的积分。
必要性证明：由
?（xn,x)?0，可得???0，?xn(t)?x(t)dt?EpE(xn?x??)?xn?xdt
p??p?m(E(xn?x??)，n?1,2,?，令n??，可得m(E(xn?x??)?0。即xn(t)依测度收敛于
x(t)。
由
x(t)的积分绝对连续性可知，对任何??0，存在?1?0，使得e?E，me??1时，(?x(t)dt)?ep1p?2。对上述
??0，存在
（?xn(t)?x(t)dt）?N?0，使得n?N时，
E1p1p1pp1p?2，
从而
?xenn(t)dt)?(?xn?xdt)?(?xdt)?(?xn?xdt)?(?xdt)??eeEe1ppppp1pp1p，
即
?xe对于
(t)dt)??p，对
n?N,N?1,?，成立。
p（n?1,2,?,N，易知存在?2?0，使e?E，me??2时，
?xn(t)dt??）。
e取
??min(?1,?2)，则
e?E，me??时，?xn(t)dt)??ep1p，对每个自然数
n成立。
即
?xn(t)?在
[a,b]上具有等度绝对连续的积分。
充分性证明：对任何
??0，令
En(?)?E(xn?x??)，则mEn(?)?0。由此可知，对任何??0，存在N?0，使得
n?N时，mEn(?)??。
令
Fn(?)?E(xn?x??)，则?p(xn,x)?pEn?xn?xdt?pFn?xn?xdt。此时，
p11??pppppxn?xdt??(?xndt)?(?xdt)????EnEn?En?，
Fn?xn?xdt?(b?a)??p。
p
2
由积分的等度绝对连续性可知，对任何
??0，存在
??0p，使得
e?E，me??时，
?e对上述
xn(t)dt)?1p?2，
?ex(t)dt)?pp1p?2。
??0，存在
（?xn?xdt）??N?0，使得n?N时，mEn(?)??，此时
Enp。
于是对任何
??0，存在
N?0，使得n?N时，d(xn,x)?(1?b?a)??，
1p即
xn(t)收敛于x(t)。
、
是距离空间
四F
X中闭集的充分必要条件为对任何F中点列?xn?，xn?x?X，必有x?F。
中点列
必要性证明：对于
F
?xn?，
xn?x?X，若
x?F，则x?Fc，即x为开集Fc的内点，从而存在??0，使得
O(x,?)?Fc。由xn?x可知，存在N?0，使得xN?O(x,?)?Fc，这与xN?F矛盾。因而有x?F。
充分性证明：对于
F中互异点列?xn?，若xn?x?X，则x?F，即F的聚点在F中。因此，对于任意x?Fc，x必不是F的聚点，从
，使得
而存在
??0O(x,?)?Fc，因而 Fc为开集，即F为闭集。
?，On,?包含B，并且 X中闭集，试证必有一列开集O1，O2，五B、设
是度量空间
B??On。
n?1?1证明：任取?,n?1,2,?，令On???n(x)，则B?On，并且On为开集(n?1,2,?)。任取x??Onn?nx?Bn?1?1则存在x(n?1,2,?)，从而xn?x。由于B为闭集，因而x?B，即有B??On。
n?B，使得d(xn,x)?nn?1，
?六X、设
为距离空间，
F1，F2为X中不相交的闭集，试证：存在开集G1，G2，使得
G1?G2??，G1?F1，G2?F2。
证明：由
令
F1?F2??，得?x1?F1，d(x1,F2)?0，?x2?F2,d(x2,F1)?0。
d(x1,F2)d(x2,F1)?1?,?2??1(x1),G2???2(x2),则G1，G2，G??122x1?F1x2?F2分别为包含
F1，F2的开集。
假设x?G?G，则d(x,x)??,d(x,x)??,x?F,x?F，但是
012011022112d(x1,x2)?d(x1,x0)?d(x0,x2)?G1?G2??。
d(x1,F2)d(x2,F1)??d(x1,x2)是一个错误，故而
22七
、试证：
l?是不可分的距离空间。
3
证明：设
??1,?2,?,?n,???l??n?0,1,?，则对于任何x???n?,y???n??MM??，当
x?y时，
d（x,y)?sup?n??n?。显然，1M与二进制小数一一对应，因而是不可数的。
假设
1l?是可分的，则存在可数稠密子集?yn?，使得任何x?M?l?的邻域U(x,)中至少包含一个yn。对于任何两个不同的邻域
3，必有
11U(x,)、U(y,)，x,y?M33111??U(x,)?U(y,)??，从而?U(x,)x?M?是一族互不相交的球，其总数是不可数的。因此?yn?至少也有不可数个，这与?yn?333??是可数的相矛盾。
（或：由
1?U（yn,）?l??M3以及
M是不可数的，可知存在一个
1U(yn,)包含M3中的两个不同点
x,y。但
，并且dd（x,y)?1（x,y)?d（x,yn)?d(y,yn)?2，显然这是相互矛盾的。） 3八X、设证明：任取
为距离空间，
A为X中的子集，令f(x)?infd(x,y)，x?X，试证：f(x)是X上的连续函数。
y?Ax0?Xy?A，对于
x?X，有
f(x)?infd(x,y)?d(x,y)?d(x,x0)?d(y,x0),对一切y?A成立。
从而
f(x)?d(x,x0)?f(x0)，同理可得f(x0)?d(x,x0)?f(x)
即有
f(x)?f(x0)?d(x,x0)，从而f(x)在x0处连续。
因此
f(x)是X上的连续函数。
、试证：
九T是距离空间X到距离空间Y中的连续映射的充要条件为Y中任何闭集F的原像T?1F是X中的闭集。
必要性证明：设
F为Y中的闭集，任取?xn??T?1F，xn?x，x?X，则Txn?F。
由
T的连续性可知，Txn?Tx，从而Tx?F，即x?T?1F。
x?X，任取?xn??X，xn?x。
充分性证明：设
假设
Txn?Tx不成立，则存在?0?0和子列xnk?X，使得d(Txnk,Tx)??0。
??令
F??yd(y,Tx)??0?，则Txnk?F??，并且
F为Y中的闭集，从而T?1F是X中的闭集。
由
xnk?T?1F,xnk?x可得，
x?T?1F，即Tx?F，由此可得0?d(Tx,Tx)??0?0，这一矛盾说明，
4
相关推荐：
loading