10．A 【解析】2x?ax?1,x?0，则a??2x2?x对x?0恒成立，而?2x2?x??2(x?114)2?8，所以a?18
“对任意的正数x，不等式2x?a1x?1成立”的充要条件是“a?8”，
故“a?1”是“对任意的正数x，不等式2x?ax?1成立”充分不必要条件，故选A 11．D 【解析】 【分析】
由 =4 ，∠BAC=30°，可求得三角形的面积，进而得到 。因为
，所以
，然后去括号，利用基本不等式可求最小值。
【详解】
因为 =4 ，∠BAC=30°，所以
。 所以 C=
|| C | |
。 因为△MBC，△MCA和△MAB的面积分别为1，x，y，所以 ，所以 。 所以
。
当且仅当
即
时，上式取“=”号。
所以，
时，
取最小值9.
故选D。 【点睛】
本题考查数量积的定义、三角形的面积公式、基本不等式求最值。利用基本不等式 求最值，注意“一正、二定、三相等”。当 ， 都取正值时，和取定值，则积有最大值，积取定值，和有最小值。
12．D 【解析】 【分析】
先求导得 ，因为函数 在 处取得极大值，故应讨论导函数的正负。当 时，求导函数的正负，可得函数 在 处取极小值，不符合
题意。当 时，求方程 = 的两根可得 = 或 。由函数 在 处取得极大值，
可得 = 与 的大小，进而可求 的取值范围。
【详解】
因为 。
当 时， 。由 ，得 ；由 ，得 。 所以， 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数。 则函数 在 处取极小值，不符合题意。 当 时，令 = ，得 = 或 。
因为函数 在 处取得极大值，所以 。
所以， 的取值范围是 。 故选D。 【点睛】
本题考查由函数的极值，求参数的取值范围。和导函数极值有关的问题，应先求导，对导函数正负，根据式子的特点对解析式中所含的参数分类讨论，寻求符合题意的参数的取值范围。本题难度较大。
13． 【解析】
【分析】
根据 可求得
，进而求得
，然后由向量模的坐标运算可求得结果。 【详解】
因为 ， ， ，所以 ，解得
。 所以
，所以
。 所以 。 【点睛】
本题考查向量数量积的坐标运算、向量模的坐标运算，主要考查学生的运算能力与转化能力。
若 ，则 。
14．9 【解析】 【分析】
设中间的三个数，根据等差数列的性质可得这个等差数列最后三项和为
=
。
，画出不等式组表示的平面区域，作直线 ：
，平移直线L，观察图形可求最后因为
， 三项和的最大值。
所以
【详解】
=
=
设在这两个实数x，y之间插入三个实数为 、 、 ， 【点睛】
因为这五个数构成等差数列，所以
。
本题考查类比推理，巧妙的逆向构造考查了学生应用信息的能力。此题难度较大。解决类比推
所以，这个等差数列最后三项和为
理有关的题目，应注意观察原材料所含的思想方法。
不等式组表示的平面区域为 边界及其内部，如图所示，
16．3 【解析】 【分析】
要求函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数，可构造函数 ，将问题转化为函数
作直线 ：
，平移直线L，当直线L经过点A时，Z
与函数 的图象的个数。根据已知条件可判断函数 的单调性和奇偶性，
进而画函数的图象，观察两个函数图象交点的个数即可。
取最大值。由
得A（3,3）.
【详解】
所以，
。
令 ，因为当x＞0时，不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立， 所以，这个等差数列最后三项和的最大值为9. 所以当x＞0时， 。所以函数 在 上为增函数。
【点睛】
因为y=f（x）是定义在R上的奇函数，所以 。 本题考查线性规划问题、等差数列的性质等知识。考查学生的运算能力、转化能力等。 所以函数 为偶函数，且 函数 在 上为减函数。 （1）解决线性规划有关的问题，应准确画出不等式组表示的平面区域； 因为定义在R上的奇函数y=f（x）满足f（3）=0，所以 。
（2）目标函数为 时，应平移直线，求其最值； 所以 。做函数 与函数 的图象如图所示。
（3）目标函数为
形式时，转化为两点连线的斜率来求；
（4）目标函数为 形式时，转化为两点间距离来求。 15．
【解析】
【分析】
由函数的图象可知，函数 与函数 的图象有三个交点。 根据材料所蕴含的数学思想方法，要求
所以函数g（x）=xf（x）+lg|x+1|的零点的个数为3个。 【点睛】
的值，可在
两边取0到
的定积分，进而可求值。
本题考查函数零点的个数问题，判断函数的零点个数，方法一，零点存在性定理的运用；方法【详解】
二，函数与方程的关系，零点个数可转化为方程根的个数的判断；方法三，可转化为两个函数的图
由材料所蕴含的数学思想方法可得
象交点问题。本题由条件“不等式f（x）＞﹣xf′（x）恒成立，”应想到构造函数 。
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17．（1）f（x）=x2
﹣2x﹣1（2）
【解析】 【分析】
（1）因为函数f（x）为二次函数，所以可设函数的解析式为f（x）=ax2+bx+c，且 ，利用条件求系数即可；（2）根据（1）所求的二次函数的解析式可写出函数g（x）=f（2x）﹣m?2x+1的解析式，整理可得， ，令t=2x，可构造关于t的二次函数，进而可求其最小值。
【详解】
解：（1）设f（x）=ax2
+bx+c，且 。 因为f（x+1）+f（x﹣1）=2x2﹣4x，
所以a（x+1）2+b（x+1）+c+a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c=2x2﹣4x，所以2ax2+2bx+2a+2c=2x2﹣4x
故有 ，即a=1，b=﹣2，c=﹣1，所以f（x）=x2﹣2x﹣1；
（2）g（x）=f（2x）﹣m?2x+1= ， 设t=2x，t∈[1，2]，
∴g（t）=t2﹣（2m+2）t﹣1=[t﹣（m+1）]2﹣（m2+2m+2），
①当m+1＞2，即m＞1时，g（t）=t2﹣(2m+2) t﹣1在[1，2]减函数，当t=2时，g（t）min=﹣4m﹣1，
②当m+1＜1，即m＜0时，g（t）=t2﹣(2m+2)t﹣1在[1，2]增函数，当t=1时，g（t）min=﹣2m﹣2，
③当0≤m≤1时，当t=m+1时，g（t）min=﹣（m2+2m+2），
综上所述：g（x）min=
． 【点睛】
⑴已知函数的类型，求函数的解析式，应用待定系数法；
⑵求二次函数的最值，应先求对称轴方程，根据图象的开口方向，求函数在所给区间上单调性，进而可求二次函数的最值。
18．（1） （2） 【解析】 【分析】
（Ⅰ）在 C 中，已知∠ADC=
，
，要求sin∠DAC，所以将∠DAC用∠ADC和
∠C来表示可得∠ C=π﹣（∠ADC+∠C），进而用诱导公式可得
，再用两角和的正弦公式展开，利用条件可求得结果；（Ⅱ）在△ABD中，知道一个角、两条边，故可用余弦定理求边AD的长。△ACD中，根据条件由正弦定理可求CD边长，进而可求BC边长，根据条件分别求 、 C的面积即可得所求。
【详解】
解：（Ⅰ）△ACD中，因为∠ C=π﹣（∠ADC+∠C），∠ADC=， 所以=
；
因为，0＜∠C＜π，所以
；
所以
； （Ⅱ）在△ABD中，由余弦定理可得AB2=BD2+AD2﹣2 ? ?cos∠ADB， 所以，所以 AD2+6AD﹣160=0，即（AD+16）（AD﹣
10）=0，
解得AD=10或AD=﹣16（不合题意，舍去）；所以 AD=10；
在 C 中，由正弦定理得，即
，解得CD=15；所以
，即
．
【点睛】
三角形中已知边和角，求其它的边、角，应用正弦定理或余弦定理。⑴已知三边，可用余弦定理求角；⑵已知两边一角，可用余弦定理求第三边；⑶已知两边一对角，可用正弦定理或余弦定理求第三边；⑷已知两角一边，应用正弦定理求边。
19．（1） （2）12米或18米 【解析】
试题分析：（1）根据题意，分析可得，欲求健身场地占地面积，只须求出图中矩形的面积即可，再结合矩形的面积计算公式求出它们的面积即得，最后再根据二次函数的性质得出其范围；
（2）对于（1）所列不等式，考虑到其中两项之积为定值，可利用基本不等式求它的最大值，从而解决问题．
解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60° ∴|PM|=|MC|tan∠PCM=
（30﹣x），…2分
矩形AMPN的面积S=|PM||MC|=x（30﹣x），x∈[10，20]…4分
又a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=，得a2=1，则2a2=2，∴，
于是200
≤ ≤225
为所求．…6分
∴
（n≥2），∴
；
（2）矩形AMPN健身场地造价T1=37k…7分
又△ABC的面积为450
，即草坪造价T2=S）…8分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知
，
∴T﹣
n=1+2×2×30+2×3×31+2×4×32+…+2n×3n2，则
，
由总造价T=T1+T2，∴T=25k（
+），200≤ ≤225．…10分
两式作差得：
，得：
；
∴T=25k（+），200≤ ≤225
（Ⅲ）解：由≤（n+6）λ，得≤（n+6）λ，
∵+≥12，…11分 即
对任意n∈N*恒成立．
当且仅当=即S=216时等号成立，…12分
当n=2或n=3时n+有最小值为5，有最大值为，故有λ≥，∴实数λ的最小值为．
此时
x（30﹣x）=216，解得x=12或x=18，
【点睛】
所以选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．…14分． ⑴已知数列的前n项和 ，求通项公式 ，应用 与 的关系
； 考点：根据实际问题选择函数类型． ⑵数列 为等差数列，数列 }为等比数列，求数列 的前n项和应用错位相减法。
20．（Ⅰ）
⑶证明数列为等比数列有两种方法：①等比数列的定义；②等比中项。
（Ⅱ）
(Ⅲ)
21．（1） （2）见解析 【解析】 【解析】 【分析】
【分析】
（Ⅰ）要证明数列{nan}是等比数列，应先求其通项公式，然后用等比数列定义证明即可。由等（Ⅰ）根据导函数的几何意义求得函数g（x）的图象在（1，0）处的切线l的方程，将其方程比数列通向公式可求得数列{nan}的通项公式，进而可求数列{an}的通项an；（Ⅱ）要求数列{n2an}与函数f（x）的解析式联立，得到关于x的一元二次方程，由条件可知此方程有一个解，判别式等的前n项和T
n，应根据（Ⅰ）的结果求其通项公式 ，由通项公式的特点可于0，可求得实数k的值；（Ⅱ）证法一：当k=0时，构造函数F（x）=f（x）+g（x）=
，求导用错位相减法求数列从第二项到第n项的和，再加第一项可得结果；（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，不判断函数F（x）在（0，+∞）上的单调性，进而得其最小值，判断最小值大于0即可。证法二：对等式
可变为 ，利用基本不等式，可求得不等式右边的最大值为 。于函数g（x）=xlnx，求导判断其单调性，可求其最小值，当k=0时，
，配方可
可求实数λ的最小值为
。
求其最小值。进而可得f（x）+g（x）＞
【详解】
，可证明要证不等式。 【详解】
（Ⅰ）[证明]：由a1+2a2+3a3+…+nan=
，得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）an﹣1=
（n≥2），
（Ⅰ）g（x）的导数g′（x）=1+lnx，斜率为g′（1）=1，切点为（1，0），则直线l：y=x﹣1， ①﹣②：，即
（n≥2），∴当n≥2时，数列{nan}是等比数列，
联立y=x2+（k﹣1）x﹣k+，可得x2+2（k﹣2）x﹣2k+5=0，
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