∥AE，由图知MQ与MN不可能始终垂直，故C错误，当平面CDE⊥平面 ABCD时，又平面CDE∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD， AD
平面ABCD，∴AD⊥平面CDE，∴AD⊥DE，故
D错误． 答案：A
12．下列命题正确的是( )
A．若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行 B．若一条直线与两个平面所成的角相等，则这两个平面平行
C．若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个平面的交线平行
D．若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行 解析：A选项中两条直线可能平行也可能异面或相交； 对于B选项，如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，平面ABB1A1和平面BCC1B1与B1D1所成的角相等， 但这两个平面垂直；D选项中两平面也可能相交．C正 确． 答案：C
13．(2019·杭州模拟)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，E为AD
的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则EF＝________.
解析：根据题意，因为EF∥平面AB1C，所以EF∥AC. 又E是AD的中点，所以F是CD的中点．因为在Rt
△DEF中，DE＝DF＝1，故EF＝2. 答案：2
14．(2019·唐山统一考试)在三棱锥PABC中，PB
＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于直线PB和AC，则截面的周长为________．
解析：过点G作EF∥AC，分别交PA、PC于点
E、F，过E、F分别作EN∥PB、FM∥PB，分别交AB、BC于点N、M，连接EF2FMMN(图略)，则四边形EFMN是平行四边形，所以3＝3，即EF＝MN＝2，PBFM1
＝6＝3，即FM＝EN＝2，所以截面的周长为2×4＝8. 答案：8
15.如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为8的正方 形，四条侧棱长均为217 .点G，E，F，H 分别是 棱 PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥ 平 面ABCD，BC∥ 平面GEFH . (1)证明：GH∥EF；
(2)若EB＝2，求四边形GEFH 的面积． 解析：(1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC
平面
PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥ BC.
同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.
(2)如图所示，连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.
因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC， 同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面内，所以 PO⊥底面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD，且POGEFH，所以PO∥平面GEFH. 因为平面PBD∩平面GEFH＝GK， 所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD， 从而GK⊥EF，
所以GK是梯形GEFH的高．
由AB＝8，EB＝2，得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4， 11
从而KB＝4DB＝2OB，即K为OB的中点．
1
由PO∥GK得GK＝2PO，
1
即G是PB的中点，且GH＝2BC＝4. 由已知可得OB＝42， PO＝
PB2－OB2＝
68－32＝6，
平面
所以GK＝3.
GH＋EF4＋8
故四边形GEFH的面积S＝·GK＝2×3＝18.
2
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