高三数学一轮复习——排列、组合（理）2013.1
一、分步计数原理、分类计数原理：弄清是“分布”还是“分类”
例1、(1)某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员不能同时分给一个部门，另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门，求有多少种不同的分配方案．
解：用分步计数原理．先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有2×(3＋3)×3＝36种．
(2)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点B传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是（ ）D
A、26 B、24 C、20 D、19 3 ? 5 ? 12 B? 4 ?6 ?A 6 7?6 12 ? 8 ? 解：要完成的这件事是：“从A向B传递信息”，完成这件事有4类办法： 第一类：12 5 3
第二类 ： 12 6 4 第三类 ：12 6 7 第四类；：12 8 6 可见：第一类中单位时间传递的最大信息量是3；第二类单位时间传递的最大信息量是4；
第三类单位时间传递的最大信息量是6；第四类单位时间传递的最大信息量是6。所以由分类记数原理知道共有：3+4+6+6=19，故选D
(3)如图A，B，C，D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有（ ）C D A A、8种 B、12种 C、16种 D、20种
B C 解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C4=4种方法； 第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D，D—C—B—A，这样的两个排列对应一种建桥方法，因此有
1A244?12种方法；
根据分类计数原理知道共有4+12=16种方法 二、排队问题：
例2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？
(1)甲在排头
(2)甲不在排头，也不在排尾 (3)甲、乙不相邻
(4)甲乙之间有且只有两人 (5)甲乙丙三人必须在一起 (6)甲乙丙三人两两不相邻 (7)甲在乙的左边（不一定相邻）
(8)甲乙丙三人按从高到矮，自左向右的顺序 (9)甲不在排头，乙不在排尾
(10)排3排，前排2人，中排2人，后排3人
三、定序问题：常用方法：(1) 考虑位置“插空法”(2) 整体考虑用“除法” 例3、(1) 10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增
5加，共有多少排法？ C10 (2) 12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是 ( )C A． C82A66
B． C82A32
C．C82A62
D．C82A52
(3)某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，
如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为____ __
解：实质是7个节目的排列，因原定的5个节目顺序不改变，故排这5个节
5522CCA77目是一个组合，有种方法，再排新插入的两个节目有2种方法，故A2?42
(4)一天的课程表要排入语文、数学、物理、化学、英语、体育六节课，如果数
学必须排在体育之前，那么该天的课程表有多少种排法？
解：分析：在六节课的排列总数中，体育课排在数学之前与数学课排在体育之
111前的概率相等，均为，故本例所求的排法种数就是所有排法的，即A=360
222种
四、排数问题：注意数字“0”
例4、1、由0，1，2，3，4，5这六个数字。 (1)能组成多少个无重复数字的四位数？ (2)能组成多少个无重复数字的四位偶数？
(3)能组成多少个无重复数字且被25个整除的四位数？ (4)组成无重复数字的四位数中比4032大的数有多少个？ 解：（1）A15A35?300 (2)A35?A12A14A24?156 (3)A13A13?A24?21
(4)A35?A14A24?A13?1?112
2、由四个不同的数字1,2,4，x组成无重复数字的三位数. (1)若x＝5，其中能被5整除的共有多少个？ (2)若x＝9，其中能被3整除的共有多少个？ (3)若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x. 解(1)5必在个位，所以能被5整除的三位数共有A23＝6个. (2)∵各位数字之和能被3整除时，该数就能被3整除， ∴这种三位数只能由2,4,9或1,2,9排列组成， ∴共有2×A33＝12个.
(3)显然x≠0，∵1,2,4，x在各个数位上出现的次数都相同，且各自出现A31×A32次，
∴这样的数字之和是(1＋2＋4＋x)×A31×A32，即(1＋2＋4＋x)×A31×A32＝252， ∴7＋x＝14，∴x＝7.
3、用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是 12 （用数字作答)
4、3张卡片的正反面上分别有数字0和1，3和4，5和6，当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数（6可做9用）
解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5×4×2＝40个．这40个三位数中含数字6的有2×3×2＋1×4×2＝20个，故6可做9用时，可得三位数40＋20＝60个
五、分组（平均分组）问题：先分堆再分配，注意平均分堆的算法 例5、按以下要求分配6本不同的书，各有几种分法？ (1)平均分给甲、乙、丙三人，每人2本； (2)平均分成三份，每份2本；
(3)甲、乙、丙三人一人得1本，一人得2本，一人得3本； (4)分成三份，一份1本，一份2本，一份3本； (5)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另二人每人得1本； (6)分成三份，一份4本，另两份每份1本； (7)甲得1本，乙得1本，丙得4本（均只要求列式） 解：（1）
2C6?C24?C22； （2）
2C6?C24?C22A33233 （3）C16?C5?C3?A3
（4）
C162?C5?C33 （5）
41C6?C12?C1A22?A33 （6）
C16?C15?C44A22
14 （7）C16?C5?C4
六、不配对问题：
例6、(1) 元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有 种？ 9
(2)编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有__ __种
解： 选取编号相同的两组球和盒子的方法有C62?15种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所求方法有15?9?135种
(3)有五位客人参加宴会，他们把帽子放在衣帽寄放室内，宴会结束后每人戴了一顶帽子回家，回家后，他们的妻子都发现他们戴了别人的帽子，问5位客人都不戴自己帽子的戴法有 种？44
七、相同元素问题：隔板法
例7、(1)7个相同的小球，任意放入4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？
解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。 于是，我们采用“隔板法”来解决。在7个小球中的每两个之间分别有6个空，我们从6个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部分至少有1个球。即有C6=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。所以共有20种放球放法。 (2)把10本相同的书分给编号1,2,3的阅览室，要求每个阅览室分得的书数不大于其编号数，则不同的分法有多少种？
解：先在编号为1，2，3的阅览室中依次放入0，1，2本书，再用隔板法分配剩下的书有C62＝15种，
(3) 一次文艺演出中需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯15只，现以不同的亮灯方式来增加舞台效果，设计者按照每次亮灯时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时关掉，两端的灯必须要亮的要求进行设计，求有多少不同的亮灯方式？ C85?C82?28
(4)某校准备参加2013年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有__ _种 解 ：问题等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题 3将10个小球串成一串，截为7段有C97?36种截断法，对应放到8个盒子里
:因此，不同的分配方案共有36种
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