不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同的着色方法是 种84
5A4 B164 31DEA32CB 2EDC图3 图4 图5 图6 (7)将一四棱锥(图6)的每个顶点染一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法共 种 420 十一、走法问题：插空法
例11、(1)某栋楼从二楼到三楼共10级，上楼只许一步上一级或两级，若规定从二楼到三楼用8步走完，则不同的上楼方法有 （ ） A．45种 B．36种 C．28种 D．25种 解：C. 8步走10级，则其中有两步走两级，有6步走一级．一步走两级记为a，一步走一级记为b，所求转化为2个a和6个b排成一排，有多少种排法．故上楼的方法有C8＝28种；或用插排法．
(2)某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走到B的最短路径有多少种？
B2A3C7?35
(3)设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向
跳1个单位，经过5次跳动质点落在点（3，0）（允许重复过此点）处，则质点不同的运动方法共有 种5
十二、放法问题：
例12、有4个不同的球，四个不同的盒子，把球全部放入盒子内. (1)共有多少种放法？
(2)恰有一个盒子不放球，有多少种放法？ (3)恰有一个盒子内放2个球，有多少种放法？ (4)恰有两个盒子不放球，有多少种放法？
解(1)一个球一个球地放到盒子里去，每个球都可有4种独立的放法，由分步乘法计数原理，放法共有44＝256种.
(2)为保证“恰有一个盒子不放球”，先从四个盒子中任意拿出去1个有C41种可能，再将4个球分成2,1,1的三组，有C24种分法；然后再从三个盒子中选一个放两个球，其余两个球，两个盒子，全排列即可.由分步乘法计数原理，共有放法C41×C42×C31×A22＝144种.
(3)“恰有一个盒内放2个球”，即另外三个盒子中恰有一个空盒.因此，“恰有一个盒子内放2个球”与“恰有一个盒子不放球”是一种情况.故也有144种放法. (4)先从四个盒子中任意拿走两个盒子有C42种，问题转化为：“4个球，两个盒子，每盒必放球，有几种放法？”从放球数目看，可分为(3,1)，(2,2)两类.第一类：可从4个球中先选3个，然后放入指定的一个盒子中即可，有C43×C21种放法；第二类：有C42种放法.因此共有C43×C21＋C42＝14种.由分步乘法计数原理得“恰有两个盒子不放球”的放法有C42×14＝84种. 十三、选派问题：
例13、1、某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动.
(1) 如果班长和副班长必须在内有多少种选派法.
(2) 如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法. (3) 如果班长和副班长都不在内有多少种派法.
(4) 如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.
4135C13解；(1) C22C13＝286 (2) C2＝1430 (3) C13＝1287
55(4) C15－C13＝1716 2、(1)从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有（ ）D
A．140 B．120 C．35 D．34
(2)从4名男生和3名女生中选出3人,分别从事三项不同的工作,若这3人中至少有1名女生,则选派方案共有( )
A、108种 B、186种 C.216种 D、270种 解：没有女生的选法有C4, 至少有1名女生的选法有C7?C4?31种, 所以选派方案总共有：31×A3=186种。 故选B.
3、(1) 某校从8名教师中选派4名教师同时去4个远地区支教（每地1人），其中甲和乙不同去，甲和丙只能事去或同不去，则不同的选派方案菜有多少处？ 解：（1）分类：第一为甲丙都去，第二类不去共有C52A44?A64?600种 （2）分类：第一类两名老队员都去，第二类去一名老队员共有
2112123C2C3C2C2?C2C3A3?48种
3333(2) 5名乒乓选手的球队中，有2名老队员和3名新队员，现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有一名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有多少种？
4、某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法种数是( )C A．15 B．45 C．60 D．75
5、有13名医生，其中女医生6人.现从中抽调5名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有2名男医生，同时至多有3名女医生，设不同的选派方法种数为P，则下列等式其中能成为P 的算式有_________种.
514C?CC6;137(1)
2332415514523CC?CC?CC?CC?CC?CC7676767137667 (4)C11； (2) (3)
解： 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法，故为组合问题。
用直接法解：选派5名医生分为2男3女，3男2女，4男1女，5男这四类，故（2）正确；
5C13用间接法解： 不考虑限制条件，选派方法有种，需剔除的有1男4女，5女
两类，故（3）正确。
因此结论为： （2）（3）. 十四、连号问题：
例14、(1)在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A、B两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A、B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法共有 种。（作数字作答）12
(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？
解：假设五个连续空位为一个元素A，B为单独一个空位元素，另4个为元素C1，C2，C3，C4间题转化为A，B，C1，C2，C3，C4排列，条件A，B不相邻，有A44?A52＝480种.
(3) 同一排6张编号1，2，3，4，5，6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？
解：假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素c1、c2、c3、c4．问题化为a,b,c1,c2,c3,c4的排列，条件是a,b不相邻，共有A44?A52＝48种
(4) 某人连续射击8次有四次命中，其中有三次连续命中，按“中”与“不中”报告结果，不同的结果有多少种．
解；把问题转化为四个相同的黑球与四个相同白球，其中只有三个黑球相邻的排列问题．A52=20种
十五、多面手问题：分类法---选定标准 例15、(1)有11名外语翻译人员,其中有5名会英语,4名会日语,另外两名英,日语都精通,从中选出8人,组成两个翻译小组,其中4人翻译英语,另4人翻译日语,问共有多少不同的选派方式?
431413423113C54C4?C5C2C4?C54C2C4?C52C4?C54C4?C5C2C1C4=185
(2)某出版社的7名工人中，有3人只会排版，2人只会印刷，还有2人既会排版又会印刷，现从7人中安排2人排版，2人印刷，有几种不同的安排方法？37
十六、映射、函数问题：
例16、已知A??a1,a2,a3?,B??b1,b2?，则建立从A到B的映射有 个8 从A到B的函数有 个6
十七.多排问题：把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理 例17. (1)8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法
2解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A4种,再排后4个位置上
的特殊元素丙有
155A2A14A4A5种 4种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有
前 排后 排
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
(2)有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 346
十八、环排问题：
例18、(1)8人围桌而坐,共有 种坐法?
4解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A4并从此位置把圆形展
成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！
CDEFGHBAABCDEFGHA
一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有
1mAn n
(2)6颗颜色不同的钻石，可穿成 种钻石圈 120
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