专题八 数学思想方法
第1讲 函数与方程思想
(推荐时间：60分钟)
一、填空题
x2y2
1．双曲线－＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上．若PF1⊥PF2，则点P到
916x轴的距离为________．
2．对任意a∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于零，则x的取值范围是________．
3．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)⊥(a－λb)，则实数λ＝__________. 4．方程m＋1－x＝x有解，则m的最大值为________．
5．已知R上的减函数y＝f(x)的图象过P(－2，3)、Q(3，－3)两个点，那么|f(x＋2)|≤3的解集为________．
6．当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围为__________． 7．若关于x的方程4cos x－cos2x＋m－3＝0恒有实数解，则实数m的取值范围是________．
8．已知函数f(x)＝(x－a)(x－b)－2，其中a 9．已知等差数列{an}共有10项，其奇数项的和为15，偶数项的和为30，则它的公差d＝________. 10．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N*，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是__________． 11．若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是____________． ?－x2， －3≤x≤3， 12．已知函数f(x)＝?若0 2 ?x－6，x<－3或x>3， 取值范围是________． 二、解答题 x2y21 13．设P(x，y)是椭圆＋＝1上的动点，定点M(，0)，求动点P到定点M距离的最 422大值与最小值． 14.已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝－5. (1)求{an}的通项公式； (2)求{an}前n项和Sn的最大值． 15．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)，且方程f(x)＝2x有等根．是否存在实数m，n(m 答 案 1611. 2．(－∞，1)∪(3，＋∞) 3．2或－ 524．1 5．[－4,1] 6．(－∞，－5] 7．[0,8] 8．α 2 ，＋∞? 12．(0,42] 11．(－∞，－1)∪?3?? 22xy1 13．解 由＋＝1得y2＝2－x2， 42211119171 PM2＝(x－)2＋y2＝x2－x＋＋2－x2＝(x2－2x)＋＝(x－1)2＋，y2＝2－x2≥0， 24224242∴－2≤x≤2. 77 当x＝1时，PM2取得最小值，即PM的最小值为； 42255 当x＝－2时，PM2取得最大值，即PM的最大值为. 42 ??a1＋d＝1， 14．解 (1)设{an}的公差为d，由已知条件，得? ??a1＋4d＝－5， 解得a1＝3，d＝－2. 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. n?n－1? (2)Sn＝na1＋d＝－n2＋4n＝4－(n－2)2. 2所以当n＝2时，Sn取得最大值4. 15．解 ∵方程ax2＋bx＝2x有等根， ∴Δ＝(b－2)2＝0，得b＝2. 由f(x－1)＝f(3－x)知此函数图象的对称轴方程为x＝－故f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1， 1 ∴4n≤1，即n≤. 4而抛物线y＝－x2＋2x的对称轴为x＝1， 1 ∴n≤时，f(x)在[m，n]上为增函数． 4 b ＝1得a＝－1， 2a ??f?m?＝4m， 若满足题设条件的m，n存在，则? ??f?n?＝4n， 2???－m＋2m＝4m，?m＝0或m＝－2， 即??? 2 ?－n＋2n＝4n???n＝0或n＝－2. 1 又m 4这时定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]． 由以上知满足条件的m，n存在，且m＝－2，n＝0.
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