直线y=﹣x+k与x轴交于点C，切⊙A于P，作PD⊥x轴于D，AE⊥PD于E，连接AB，如图，
当y=0时，﹣x+k=0，解得x=k，则C（k，0），∵直线y=﹣x+k为直线y=﹣x向上平移k个单位得到，∴∠PCD=45°，∴△PCD为等腰直角三角形，∵CP和OB为⊙A的切线，∴AB⊥OB，AP⊥PC，AP=AB=1，CP=CB=k+2，∴四边形ABDE为矩形，∠APE=45°，∴DE=AB=1，
∵△APE为等腰直角三角形，∴PE=∵PC=
PD，∴2+k=
（
AP=
，∴PD=PE+DE=
+1，在Rt△PCD中，
﹣1．
+1），解得k=﹣1，∴n+m的最大值为
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．解决本题的关键是确定直线y=﹣x+k与⊙A相切时n+m的最大值． 例二、圆外一点与圆的最近点、最远点
1. 解：作AB的中点E，连接EM、CE．在直角△ABC中，AB=
=
=5，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE=AB=．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME=AD=1．∴在△CEM中，﹣1≤CM≤+1，即≤CM≤．故答案是：≤CM≤．
2.（1）23?CD?43；（2）2?213；
变式题：（2011?邯郸一模）如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q．
（1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ． （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长．
9
【考点】切线的性质；圆周角定理；解直角三角形． 【专题】计算题． 【分析】（1）当CQ为圆O的切线时，CQ为圆O的切线，此时CP为圆的直径，由CQ垂直于直径CP，得到CQ为切线，即可得到CP的长；由同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，在直角三角形CPQ中，利用锐角三角函数定义即可求出CQ的长；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，在直角三角形ACB中，由tan∠CAB与AB的长，利用锐角三角函数定义求出AC与BC的长，再由三角形ABC的面积由两直角边乘积的一半来求，也利用由斜边乘以斜边上的高CD的一半来求，求出CD的长，得到CP的长，同弧所对的圆周角相等得到一对角相等，由已知角的正切值，得到tan∠CPB的值，由CP的长即可求出CQ；
（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E，由P是弧AB的中点，得到∠PCB=45°，得到三角形EBC为等腰直角三角形，由CB的长，求出CE与BE的长，在直角三角形EBP中，由∠CPB=∠CAB，得到tan∠CPB=tan∠CAB，利用三角函数定义求出PE的长，由CP+PE求出CP的长，即可求出CQ的长． 【解答】解：（1）当CP过圆心O，即CP为圆O的直径时，CQ与⊙O相切，理由为： ∵PC⊥CQ，PC为圆O的直径，∴CQ为圆O的切线，此时PC=5；∵∠CAB=∠CPQ， ∴tan∠CAB=tan∠CPQ=，∴tan∠CPQ=
=
=，则CQ=
；故答案为：5；
；
（2）当点P运动到与点C关于AB对称时，如图1所示，此时CP⊥AB于D，
图1图2
又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=5，tan∠CAB=，∴BC=4，AC=3， 又∵S△ABC=AC?BC=AB?CD，∴AC?BC=AB?CD，即3×4=5CD，∴CD=∴PC=2CD=
，
=
；
，
在Rt△PCQ中，∠PCQ=90°，∠CPQ=∠CAB，∴CQ=PCtan∠CPQ=PC，∴CQ=×
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（3）当点P运动到弧AB的中点时，如图2所示，过点B作BE⊥PC于点E， ∵P是弧AB的中点，∠PCB=45°，∴CE=BE=2，又∠CPB=∠CAB，∴tan∠CPB=tan∠CAB=∴PC=CE+PE=2
+
=
=，∴PE=
， ．
=BE=
，
由（2）得，CQ=PC=
【点评】此题考查了切线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理，以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 再变式：如图3时，CQ最长。
图3
例三、正弦定理
1. 解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短， 如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2
∴AD=BD=2，即此时圆的半径为1，由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE?sin∠EOH=1×
=
，由垂径定理可知EF=2EH=
，故答案为：
．
例三1答图例三2答图
2. 【考点】垂径定理；三角形中位线定理．
【分析】当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，得出矩形CPOM，推出PM=OC，求出OC长即可．
【解答】解：法①：如图：当CD∥AB时，PM长最大，连接OM，OC，
∵CD∥AB，CP⊥CD，∴CP⊥AB，∵M为CD中点，OM过O，∴OM⊥CD， ∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°，∴四边形CPOM是矩形，∴PM=OC， ∵⊙O直径AB=8，∴半径OC=4，即PM=4，故答案为：4．
法②：连接CO，MO，根据∠CPO=∠CM0=90°，所以C，M，O，P，四点共圆，且CO为直径．连接PM，则PM为⊙E的一条弦，当PM为直径时PM最大，所以PM=CO=4时PM最大．即PMmax=4
【点评】本题考查了矩形的判定和性质，垂径定理，平行线的性质的应用，关键是找出符合条件的CD的位置，题目比较好，但是有一定的难度．
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例四、柯西不等式、配方法
1. 过O作OE⊥PD，垂足为E，∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，∴PE=ED，
又∵∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，∴四边形OACE为矩形，∴CE=OA=2，又PC=x， ∴PE=ED=PC﹣CE=x﹣2，∴PD=2（x﹣2），∴CD=PC﹣PD=x﹣2（x﹣2）=x﹣2x+4=4﹣x，
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∴PD?CD=2（x﹣2）?（4﹣x）=﹣2x+12x﹣16=﹣2（x﹣3）+2，∵2＜x＜4，∴当x=3时，PD?CD的值最大，最大值是2．
第1题答图第2题答图
2. 解：如图，分别作∠A与∠B角平分线，交点为P．
∵△ACD和△BCE都是等边三角形，∴AP与BP为CD、CE垂直平分线．
又∵圆心O在CD、CE垂直平分线上，则交点P与圆心O重合，即圆心O是一个定点． 连接OC．若半径OC最短，则OC⊥AB．又∵∠OAC=∠OBC=30°，AB=4，∴OA=OB， ∴AC=BC=2，∴在直角△AOC中，OC=AC?tan∠OAC=2×tan30°=
．故选：B．
3. 解：（1）线段AB长度的最小值为4，理由如下：连接OP，
∵AB切⊙O于P，∴OP⊥AB，取AB的中点C，∴AB=2OC；当OC=OP时，OC最短， 即AB最短，此时AB=4．故答案为：4．
（3题答图）
例四、相切的应用（有公共点、最大或最小夹角） 1. 求CE最小值，就是求半径OD的最小值。
2.3?OA?43； 33. 【考点】切线的性质．【专题】压轴题．
【分析】因为PQ为切线，所以△OPQ是Rt△．又OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小．根据垂线段最短，知OP=3时PQ最小．根据勾股定理得出结论即可．
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