【解答】解：∵PQ切⊙O于点Q，∴∠OQP=90°，∴PQ=OP﹣OQ，而OQ=2，∴PQ=OP﹣4，即PQ=，当OP最小时，PQ最小，∵点O到直线l的距离为3，∴OP的最小值为3，∴PQ的最小值为
=
．故选B．
22222
【点评】此题综合考查了切线的性质及垂线段最短等知识点，如何确定PQ最小时点P的位置是解题的关键，难度中等偏上． 例五、其他几何知识的运用
1. 解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线的解析式得：∴抛物线得解析式为y=x﹣6x+4． （2）如图所示：
2
，解得：．
设点P的坐标为P（m，m﹣6m+4），∵平行四边形的面积为30，
∴S△CBP=15，即：S△CBP=S梯形CEDP﹣S△CEB﹣S△PBD．
∴m（5+m﹣6m+4+1）﹣×5×5﹣（m﹣5）（m﹣6m+5）=15．
2
2
2
化简得：m﹣5m﹣6=0，解得：m=6，或m=﹣1．∵m＞0，∴点P的坐标为（6，4）． （3）连接AB、EB．∵AE是圆的直径，∴∠ABE=90°．∴∠ABE=∠MBN． 又∵∠EAB=∠EMB，∴△EAB∽△NMB．∵A（1，﹣1），B（5，﹣1），∴点O1的横坐标为3，
将x=0代入抛物线的解析式得：y=4，∴点C的坐标为（0，4）．设点O1的坐标为（3，m），∵O1C=O1A，∴2）， ∴O1A=BE=
=
．∴
，在Rt△ABE中，由勾股定理得：
=6，∴点E的坐标为（5，5）．∴AB=4，BE=6． ．∴NB=
．
，∴NB=
=3
．
，解得：m=2，∴点O1的坐标为（3，
2
∵△EAB∽△NMB，∴
∴当MB为直径时，MB最大，此时NB最大．∴MB=AE=2
2. 【考点】圆的综合题．【专题】综合题． 【分析】（1）连接OP，设CD与x轴交于点F．要证PE与⊙O相切，只需证∠OPE=90°，只需证∠OPB+∠EPD=90°，由OP=OB可得∠OPB=∠OBP=∠FBD，只需证∠EPD=∠EDP，只需证EP=ED，只需利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可解决问题．
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（2）连接OE，由于PE=CD，要求线段CD长的最小值，只需求PE长的最小值，在Rt△OPE中，OP已知，只需求出OE的最小值就可．
（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，而点P在点Q时，点E的纵坐标为1，由此就可得到m的范围． 【解答】解：（1）直线PE与⊙O相切．
证明：连接OP，设CD与x轴交于点F．∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=∠CPD=90°． ∵E为CD的中点，∴PE=CE=DE=CD，∴∠EPD=∠EDP．∵OP=OB，
∴∠OPB=∠OBP=∠DBF．
∵∠DBF+∠EDB=90°，∴∠OPB+∠EPD=∠OPE=90°，∴EP⊥OP．∵OP为⊙O的半径， ∴PE是⊙O的切线．
（2）连接OE，∵∠OPE=90°，OP=1，∴PE=OE﹣OP=OE﹣1．∵当OE⊥CD时，OE=OF=2，此时OE最短，∴PE最小值为3，即PE最小值为
2
2
2
2
2
，∵PE=CD，∴线段CD长的最小
值为2．
（3）设⊙O与y轴的正半轴的交点为Q，
由图可知：点P从点Q向点B运动的过程中，点E的纵坐标越来越小，当点P在点Q时，由PE⊥OP可得点E的纵坐标为1．∵点P是圆上第一象限内的一个动点，∴m的范围为m＜1．
【点评】本题考查了切线的判定、圆周角定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理等知识，利用勾股定理将求PE的最小值转化为求OE的最小值是解决第（2）小题的关键．
【题型训练】
1. 解：连接OB．如图1，∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°， ∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，
∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，如图2，∴OE=AC=AB=OE=
≤r，∴
，又∵圆O与直线MN有交点，∴
≤2r，即：100﹣r≤4r，∴r≥20，∴r≥2
2
2
2
．∵OA=10，
直线l与⊙O相离，
∴r＜10，∴2≤r＜10．故答案为：2
≤r＜10．
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【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识点的应用，主要培养学生运用性质进行推理和计算的能力．本题综合性比较强，有一定的难度． 2.原题：（2004?无锡）已知：如图，Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6cm．点O从A点出发，沿AB以每秒cm的速度向B点方向运动，当点O运动了t秒（t＞0）时，以O点为圆心的圆与边AC相切于点D，与边AB相交于E、F两点．过E作EG⊥DE交射线BC于G．
（1）若E与B不重合，问t为何值时，△BEG与△DEG相似？
（2）问：当t在什么范围内时，点G在线段BC上？当t在什么范围内时，点G在线段BC的延长线上？
2
（3）当点G在线段BC上（不包括端点B、C）时，求四边形CDEG的面积S（cm）关于时间t（秒）的函数关系式，并问点O运动了几秒钟时，S取得最大值最大值为多少？
【考点】切线的性质；二次函数综合题；相似三角形的判定． 【专题】综合题；压轴题；分类讨论． 【分析】（1）连接OD，DF．那么OD⊥AC，则∠AOD=60°，∠AED=30°．由于∠DEG=90°，因此∠BEG=60°，因此本题可分两种情况进行讨论： ①当∠EDG=60°，∠DGE=30°时，∠BGD=∠BGE+∠EGD=60°．这样∠BGD和∠ACB相等，那么G和C重合．
②当∠DGE=60°时，可在直角△AOD中，根据∠A的度数和AO的长表示出AD的长，也就能表示出CD的长，由于∠A=∠AED=30°，那么AD=DE，可在直角△DEG中，用AD的长表示出DG，进而根据DG∥AB得出的关于CD，AD，DG，AB的比例关系式即可求出此时t的值．
（2）本题可先求出BG的表达式，然后令BG＞BC，即可得出G在BC延长线上时t的取值范围．
（3）由于四边形CGED不是规则的四边形，因此其面积可用△ABC的面积﹣△ADE的面积﹣△BEG的面积来求得．在前两问中已经求得AD，AE，BE，BG的表达式，那么就不难得
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出这三个三角形的面积．据此可求出S，t的函数关系式．根据函数的性质和自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值． 【解答】解：（1）连接OD，DF．∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=
t，∴OD=OF=
t，AD=OA?cosA=
．又∵∠FOD=90°﹣30°=60°，∴∠AED=30°，
∴AD=ED=．∵DE⊥EG，∴∠BEG=60°，△BEG与△DEG相似．∵∠B=∠GED=90°，
﹣﹣
t）则∠BGD=60°=∠ACB，此时G与C重合， t，∵△BEG∽△DEC，∴
=
，
①当∠EGD=30°，CE=2BE=2（6DE=
=AD，CD=12﹣
，BE=6
∴=，t=；
②当∠EGD=60°．∴DG⊥BC，DG∥AB．在Rt△DEG中，∠DEG=90°，DE=在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=6，∴AC=12，AB=6∴
解得t=
．答：当t为或
，∴CD=12﹣
，∴DG=t．
．∵DG∥AB，
时，△BEG与△EGD相似；
（2）∵AC切⊙O于点D，∴OD⊥AC．在Rt△OAD中，∠A=30°，OA=t，∴∠AED=30°，∴DE⊥EG，∴∠BEG=60°．在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=30°，BC=6，∴AB=6， BE=6
﹣
t．Rt△BEG中，∠BEG=60°，∴BG=BE?tan60°=18﹣t．当0≤18﹣t≤6，
即≤t≤4时，点G在线段BC上；当18﹣t＞6，即0＜t＜时，点G在线段BC的延长线上；
（3）过点D作DM⊥AB于M．在Rt△ADM中，∠A=30°，∴DM=AD=t． ∴S=S△ABC﹣S△AED﹣S△BEG=364）． 所以当t=
时，s取得最大值，最大值为
．
﹣
t﹣27
2
t=﹣（t﹣）+
2
（＜t＜
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、切线的性质、相似三角形的判定、图形面积的求法以及二次函数的综合应用等知识点．
3.D；4. 解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图， ∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，
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