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第六章 线性空间
1.设M?N,证明：MN?M,MN?N。
证 任取??M,由M?N,得??N,所以??M?N,即证M?NM。又因
M?N?M,故MN?M。再证第二式，任取??M或??N,但M?N,因此无论
N?N。
哪 一种情形，都有??N,此即。但N?M?N,所以M2.证明M?(N?L)?(M?N)?(M?L)，M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。
证
?x?M?(N?L),则
所
x?M且x?N?L.在后一情形，于是
以
x?M?N或x?M?L.x?(M?N)?(M?L)，由此得
M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。反之，若x?(M?N)?(M?L)，则x?M?N或x?M?L. 在前一情形，x?M,x?N,因此x?N?L.故得x?M?(N?L),在后一情形，因而x?M,x?L,x?N(M?N)?(M?L)?M?(N?L),
于是M?(N?L)?(M?N)?(M?L)。 若x?M（NL，得x?M?(N?L),故
L），则x?M，x?NL。 L，因而x?（MN）（ML）。
在前一情形Xx?MN， 且X?M在后一情形，x?N,x?L,因而x?MN,且X?M （MN）（ML）?M（NL）故 M（N即证。L）=（MN）（ML）L，即X?（MN）（ML）所以 3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：
1） 次数等于n（n?1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法； 2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量
乘法；
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3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：
（a1，b1）（?a?b?（a1?a2，b1?b2?a1a2）（kk?1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a12
6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： ka?0；
7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：
ka?a；
8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：
a?b?ab，ka?ak；
解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如
（x?5）?（?x?2）?3。
nn2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵} 因为
f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以
f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）
由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。
3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有
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?=A?+B=-A-B=-? ，A+B仍是反对称矩阵。 （A+B）（A+B）??KA??（ ，所以kA是反对称矩阵。 （KA）K?）A??（KA）故反对称矩阵的全体构成线性空间。
4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。
5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：
21(1?1)2a)?(a,b),2l(l?1)2l(l?1)k(k?1)k.(l.(a,b)?k.(la,lb?a)?(kla,k[lb?a2]?(la)2)222l(l?1)2k(k?1)kl(kl?1)2k(k?1)?(kla,k[lb?a]?(la)2)?(kla,a?(la)2)2222kl(kl?1)2?(kla,a?klb)?(kl).(a,b),2
(k?l)(k?l?1)2(k?l).(a,b)?[(k?l)a,a?(k?l)b]2k(k?1)2l(l?1)2k.(a,b)?l.(a,b)?(ka,kb?a)?(la,lb?a22k(k?1)2k(k?1)2?(ka?la,kb?a?a?kla2)22(k?1)(k?l?1)2?[(k?l)a,a?(k?l)b].21。（a，b）（。?1a，1。b?即(k?l)?(a,b)?k?(a,b)?l?(a,b)。
k?[(a1,b1)?(a2,b2)]?k?(a1?a2,b1?b2?a1a2)
＝[k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2?k(k?1)(a1?a2)2)]， 2k?(a1,b1)?k?(a2,b2)
k(k?1)2k(k?1)2a1)?(ka2,kb2?a2) 22k(k?1)2k(k?1)2a1?kb2?a2?k2a1a2) ＝(ka1?ka2,kb1?22k(k?1)2k(k?1)2a1??a2?k2a1a2?ka1a2) ＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?22＝(ka1,kb1?. 学习参考 .
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＝(k(a1?a2),k(b1?b2?a1a2)?k(k?1)222(a1?a2))， 2即k?(a1,b1)?(a2,b2)?k?(a1,b1)?k?(a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1???0??.。 7
）
否
，
因
为
(k?l)????,k???l???????2?,所以(k?l)???(k??)?(l??)，
所给集合不满足线性空间的定义。
8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足
i)a?b?ab?ba?b?a;ii)(a?b)?c?(ab)?c?abc?a?(bc)?a?(b?c);iii)1是零元：a?1?a?1?a;1111iv)a的负元是:a??a??1,且?a?1;aaaav)1?a?a1?a;vi)(k(la))?k(al)?(al)k?alk?akl?(kl)a;vii)(k?l)a?ak?l?ak?al?(ka)?(la);viii)k(a?b)?k(ab)?(ab)k?akbk?(ka)?(kb).
所以，所给集合R构成线性空间。
?4 在线性空间中，证明：1）k0?0 2）k(???)?k??k?。
证 1）k0?k(??(??))?k??k(??)?k??k(?1)??(k?(?k))??0??0。
2）因为k(???)?k??k(?????)?k?,所以k(???)?k??k?。
5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。
2证 因为cos2t?2cost?1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。
26 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互
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