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平新乔《微观经济学十八讲》第6讲 生产函数与规模报酬
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1．生产函数为Q??KL2?16L?18，工人工资为w?8，产品价格为p?1。 计算：（1）短期内K?2，最优劳动投入是多少？
（2）最大平均产量的劳动投入为多少？此时的最大平均产量是多少？
解：（1）在短期内K?2，则厂商的生产函数为Q??2L2?16L?18，则可得厂商的利润函数为：
??L??pQ?L??wL??2L2?8L?18
利润最大化的一阶条件为：
d???4L?8?0 dL解得L?2，此即为短期内的最优劳动投入量。
（2）由生产函数Q??2L2?16L?18，可得平均产量函数为：
APL?Q18??2L?16? LL
平均产量最大化的一阶条件为：
d?Q?18????2?2?0 dL?L?L解得：L?3（负值舍去）。故最大平均产量的劳动投入为3。 此时的最大平均产量为APL?Q18??2L?16??4。 LL
2．确定下列函数是不是齐次函数，如果是，规模报酬情况如何？ （1）f?x,y??x3?xy?y3 （2）f?x,y??2x?y?3?xy? （3）f?x,y,w???x4?5yw3?
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答：若函数f?x,y?满足f?tx,ty??tkf?x,y?，则称函数f?x,y?为k次齐次函数。同时由规模报酬的定义可知，若f?tx,ty??tf?x,y?，则为规模报酬不变；若f?tx,ty??tf?x,y?，则为规模报酬递增；若f?tx,ty??tf?x,y?，则为规模报酬递减。
（1）不是齐次函数。因为f?tx,ty??t3x3?t2xy?t3y3?tf?x,y?。
（2）是齐次函数，且规模报酬不变，因为f?tx,ty??2tx?ty?3t?xy?2?tf?x,y?。 （3）是齐次函数，且规模报酬递减，因为：
f?tx,ty,tw???tx?5tyw4441361??t23?x4?5yw136??tf?x,y,w??tf?x,y,w?
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3．设某省有一个村庄，该村既生产粮食又会织布。其产品既可用来自己消费，也可以出卖，粮食与布也可以从外边买入来满足消费。如果村外的市场价格比率是一担粮食能换回的布少于1/2米，则该村民们会不再种粮食；如果一担粮可以换回1/2米的布，则该村将提供24担粮食；如果一担粮可以换回1米布，则该村将提供30担粮食；最后，如一担粮可以换回4米布，则该村会提供38担粮食。
但是，该村的劳动力与土地如用来产棉织布，也是有机会成本的。当织布的产量从零增加到32米这一阶段，粮食产量会从38担下降到30担；如布的产量要从32米上升到38米，则粮食产量会从30担进一步下降到24担；如布的产量从38米上升到50米，则粮食产量更会从24担下降到零。作图：
（1）请以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出该村粮食的供给曲线。
（2）请以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食数量所代表的布的价格，做出该村布的供给曲线。
答：根据题目的内容，可以得到如表6-1所示的布和粮食之间的关系。
表6-1 布的产量和粮食的产量之间的关系
（1）以横轴表示粮食数量，纵轴表示以布的数量所代表的粮食的价格，做出的粮食的供给曲线如图6-1所示（由加粗的线段和点构成）。
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图6-1 粮食的供给曲线
（2）以横轴表示布的数量，纵轴表示以粮食的数量所代表的布的价格，做出的布的供给曲线如图6-2所示（由加粗的线段和点构成）。
图6-2 布的供给曲线
4．对下面的生产函数
f?K,L???0??1?KL?1/2??2K??3L
其中，0??i?1 ?i?1,2,3?，那么：
（1）当?0、?1、?2、?3满足什么条件时，该生产函数呈现规模报酬不变？ （2）证明：在规模报酬不变的情况下，该函数呈现出边际生产力递减，而且边际生产力函数是零次齐次的。
答：（1）生产函数呈现规模报酬不变是指当所有的生产要素的数量增加为原来的t（t?1）倍时，产出也会同比例增长，即产出也会增加为原来的t倍。对本题的生产函数而言，规模报酬不变就意味着下式成立：
f?tK,tL??tf?K,L?
即：
?0??1?t?KL?2??2tK??3tL?t?0??1?t?KL?2??2tK??3tL
解得?0?t?0，由于t?1，所以?0?0。即?0?0，且?1、?2、?3为0到1之间任意数时，生产函数是规模报酬不变的。
11?12（2）规模报酬不变时，边际生产函数为fL?K,L???1KL2??3和
211?1fK?K,L???1K2L2??2。
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13?12由fLL?K,L????1KL2?0，所以MPL递减；
431?1由fKK?K,L????1K2L2?0，所以MPK递减。
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此外fL?tK,tL???1?tK?2?tL?121?12??3?t0fL?K,L?，所以fL?K,L?也是零齐次的；
111?2同样fK?tK,tL???1?tK??tL?2??2?t0fK?K,L?，所以fK?K,L?是零次齐次的。
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5．判断下列结论是否正确，并说明理由。
（1）边际产出大于零，则总产量将随着投入的增加而上升；平均产量则不一定上升。 （2）如果生产是有效率的，生产的可能性边界一定是外凸的。 答：（1）两句话都正确。理由如下： ①因为边际产出等于总产出曲线的斜率，所以边际产出大于零就意味着斜率大于零，即总产量随着投入的增加而上升。
f?x?②假设厂商的生产函数为f?x?，则平均产出AP?x??，平均产出关于x求导，得
x到：
f??x?x?f?x?1AP??x????MP?x??AP?x??? ① x?x2根据①式可知：当MP?x??AP?x??0时，AP??x??0，即平均产量随着投入的增加而上升；当MP?x??AP?x??0时，AP??x??0，即平均产量随着投入的增加而下降。由此可见平均产量随着产量的增加而上升和边际产出是否大于零（MP?0）没有必然的联系，见图6-3。
图6-3 平均成本和边际成本之间的关系
（2）错误。理由如下：
以两种要素生产两种产品为例，在埃奇沃斯盒子中，当生产的要素组合位于契约线上时，生产是有效率的，即不存在帕累托改进；而在契约线之外的任何点生产都不是帕累托有效的。
生产可能性边界（同书中生产转换曲线）指在技术水平一定时，用一定总量的劳动投入与资本投入可以生产出的两种产品x和y的产出组合。
通常情况下，生产可能性边界为外凸的，即为凹形，如图6-4所示。但是凸向原点的生985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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