2.1.3~2.1.4 空间中直线与平面之间的位置关系 平面与平面之间的位置
关系
课后篇巩固提升
1.下列图形所表示的直线与平面的位置关系,分别用符号语言表示正确的一组是( )
A.a?α,a∩α=A,a∥α B.a?α,a∩α=A,a∥α C.a?α,a∩α=A,a∥α D.a∈α,a∩α=A,a∥α
答案C 2.平面α与平面β平行的条件可以是( ) A.α内有无穷多条直线都与β平行
B.直线a∥α,a∥β,且直线a不在α内,也不在β内 C.直线a?α,直线b?β,且a∥β,b∥α D.α内的任何直线都与β平行 解析由平面平行的定义可知D正确. 答案D 3.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面
BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
解析如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
答案B 4.若直线a与平面α相交,则下列结论成立的是( ) A.a与α内的所有直线异面 B.α内不存在与a平行的直线 C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内的直线与a都相交
解析因为直线a与平面α相交,所以a与α内的直线位置关系是相交或异面,故选B. 答案B 5.若三个平面把空间分成6个部分,那么这三个平面的位置关系是( )
1
A.三个平面共线
B.有两个平面平行且都与第三个平面相交
C.三个平面共线,或两个平面平行且都与第三个平面相交 D.三个平面两两相交
解析①若三个平面两两平行,则把空间分成4部分;
②若三个平面两两相交,且共线,则把空间分成6部分; ③若三个平面两两相交,且有三条交线,则把空间分成7部分;
④若三个平面其中两个平行且都和第三个平面相交,则把空间分成6部分.
答案C 6.下列说法中,正确的个数是( )
①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交; ②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行; ③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.
A.0 C.2
B.1 D.3
解析易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.选C. 答案C 7.已知平面α∥平面β,直线a?α,则直线a与平面β的位置关系为 . 解析∵α∥β,∴α与β无公共点.
∵a?α,∴a与β无公共点,∴a∥β.
答案a∥β
8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是 .
解析因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).
答案相交或平行
9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
解析如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.
2
答案6 10.如图所示,直线a∥平面α,A?α,并且a和A位于平面α两侧,点B,C∈a,AB,AC分别交平面α于点E,F,若BC=4,CF=5,AF=3,则EF= .
解析由于点A不在直线a上,则直线a和点A确定一个平面β,所以α∩β=EF.
因为直线a与EF无交点,所以EF∥a. 所以 .
所以EF= . 答案 11.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何?
解∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,
∴B1D1?平面A1B1C1D1.
∵B1∈平面BB1C1C,D1?平面BB1C1C, ∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.
同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥
BD,B1D1与BD无公共点,
∴B1D1与平面ABCD无公共点, ∴B1D1∥平面ABCD.
12.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.
解a∥b,a∥β.
证明如下.由α∩γ=a知a?α,且a?γ, 由β∩γ=b知b?β,且b?γ.
∵α∥β,a?α,b?β,
3
∴a,b无公共点.
又∵a?γ,且b?γ,∴a∥b.
∵α∥β,∴α与β无公共点.
又a?α,∴a与β无公共点,
∴a∥β.
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