内江六中2021届高二（下）半期测试题
数学(理)
第I卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1．若a为实数且(2?ai)(a?2i)??4i，则a?（ ） A．?1 B．0 C．1 D．2
2.点??(2,1)到抛物线??2=ax准线的距离为1，则a的值为( )
A. ?4或?12
11
B. 4或12
11
C. ?4或?12 D. 4或12
3．甲、乙、丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后，甲说：丙被录用了；乙说：甲被录用了；丙说：我没被录用．若这三人中仅有一人说法错误，则下列结论正确的是（ ）
A．丙被录用了
B．乙被录用了
C．甲被录用了
D．无法确定谁被录用了
x2y24.设椭圆C：2?2?1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，
ab则C的离心率为( )
A.3 6
1B. 3
1C. 2
D.
3 35.已知命题：命题p:x?1≥?；命题q:x≤a，且p是q的必要不充分条件，则a的取值范围（ ） A. a??2 B. a≤?2 C. a?? D. a≤0
6．点P在椭圆7??2+4??2=28上，则点P到直线3???2???16=0的距离的最大值为( )
A. √13 2B. 13√13 16
C. 13√13
24
D. 13√13 28
7.过抛物线y?4x的焦点F作直线l，交抛物线于A?x1,y1?， B?x2,y2?两点，若x1?x2?6，则直线l倾斜角的正弦值为（ ）
A. ?1 B. ?2 C.2 D. 2 8．已知双曲线于( )
??2??2
√2 1
√2?
??25
=1的右焦点与抛物线??2=12??的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等
A. √5 B. 3 C. 5 D. 4√2 9．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
12302A. B. C. D. 105102
1
y2x2Q两点，Q?PF10．设F1、F2分别是椭圆2?2?1?a?b?0?的焦点，过F2的直线交椭圆于P、且PabPQ?PF1，则椭圆的离心率为（ ）
A．3?2
B．6?3
C．2?2
D．9?62 1，
11.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）
A.椭圆 B.圆 C.双曲线 D.抛物线 12. 已知双曲线C：??2?
??2??2
=1(??>0)的左、右焦点分别为??1,??2，点P是双曲线C上的任意一点，过点P
作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于A，B两点，若四边形PAOB（为坐标原点）?????? ??????? 的面积为√2，且?????1?????2>0，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A．(?∞,?√17)∪(√17,+∞) B．(?√17,√17) C．(?∞,?2√17)∪(2√17,+∞) D．(?2√17,2√17) 3
3
3
3
3
3
3
3
第II卷
二、 填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）
????? ????? 13. 设平面??的一个法向量为?平面??的一个法向量为?若??//??，则??=______． 1=(1,2,?2)，2=(?2,?4,??)，
14.已知双曲线过点4,3,且渐近线方程为y????1x,则该双曲线的标准方程为 ． 215.已知P为椭圆的最小值为 ．
+22
=1上的一个点，M，N分别为圆（x+3）+y2=1和圆（x﹣3）+y2=4上的点，则|PM|+|PN|
x2y2
16．椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，
43则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________．
三、解答题(17题10分，其余每题12分)
17. 已知m?0，p:?x?2??x?6??0,q:2?m?x?2?m ． （I）若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若m?5，“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数x的取值范围
2
18. 已知双曲线C：
??2??
2?
??2??2
=1(??>0,??>0)的离心率为 ，抛物线D:??2=2????(??>0)的焦点为F，准线
√52
为l，若 l交C的渐近线于M，N两点，?MFN的面积为12. （1）求双曲线C的渐近线方程； (2) 求抛物线D的方程。
19.如图，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3. (1)证明：AC⊥B1D；
(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．
x2y25
20.已知椭圆2＋2＝1(a>b>0)的一个顶点为B(0，4)，离心率e＝，直线l交椭圆于M，N两点．
ab5(1)若直线l的方程为y＝x－4，求弦MN的长；
(2)如果△BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F，求直线l方程的一般式．
3
21. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，????⊥????，????//????，????=????=????=1，
2
1
点M在线段EC上．
(Ⅰ)若点M为EC的中点，求证：????//平面ADEF； (Ⅱ)求证：平面??????⊥平面BEC；
(Ⅲ)当平面BDM与平面ABF所成二面角的余弦值为√时，求AM的长．
66
22. 设A、B为曲线C:y=
??24
上两点，A与B的横坐标之和为4．
（1）求直线AB的斜率；
（2）设弦AB的中点为N，过点A、B分别作抛物线的切线，则两切线的交点为E，过点E作直线l，
交抛物线于P、Q两点，连接NP、NQ． 证明：kEA?kEB?kNP?kNQ?2kAB.
4
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