东北师大附中
重庆一中 2019 届高三联合模拟考试
吉大附中 长春十一高中
吉林一中 松原实验高中
理科数学试题
本试卷共 23 题，共 150 分，共 6 页。时间 120 分钟 。
注意事项：
1．答题前， 考生先将自己的姓名、 准考证号码填写清楚， 将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用
0． 5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔
迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、 试题卷上
答题无效。 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的。
1．已知集合 A { x
Z | x≤ 3} ， B { x |ln x
1} ，集合 A 与 B 关系的韦恩图如图所示，则阴影部
分所表示的集合为
A ． { x |0 x e} B ． {1 ，2，3} C． { 0 ，1，2}
D ． {1 ，2}
2． i 为虚数单位，复数
z2
在复平面内对应的点的坐标为
i 1
A ． ( 1 ，1 ) B ． ( 1，1 )
C． ( 1 ， 1 ) D ． ( 1， 1 )
3．等比数列 { an } 各项均为正数，若
a1
1 ， an 2 2an 1 8an ，则 { an } 的前 6 项和为
A ．1365
B ．6363
C．
D ． 1365
32 1024
4．如图，点 A 为单位圆上一点，
xOA
，点 A 沿单位圆逆时针方向旋转角
到点 B (3
，4 ) ， 3
5
5
则 cos
4 3
3
4 3 3
A ．
B ．
10
C．
4
10
3 3
D ．
4 3 3
10
10
5．已知双曲线x
2
y
2
C : 2
2
1( a 0 ， b 0 ) 的右焦点到渐近线的距离等于
a b
实轴长，则此双曲线的离心率为 A ．
B ． 3
C． 5
D ．5
2
2
理科数学试题
1
b
4 2
6．已知 a 365 ， 33 ， c 9 5 ，则
A ． b a c
B ． a b c
C． a c b
D ． c a b
7 ．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，
他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，
至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用
秦九韶算法求某多项式值的一个实例．若输入
n， x 的值分别
为 5，2，则输出 v 的值为 A ．64
B． 68 C． 72
D． 133
8．如图所示是某三棱锥的三视图，
其中网格纸中每个小正方形的边
长为 1，则该三棱锥的外接球的体积为 A ． 4
B． 16
D． 323
C． 16
3
9．为了丰富教职工的文化生活，某学校从高一年级、高二年级、高三年级、行政部门各挑选出
位教师组成合唱团，现要从这
16 人中选出 3 人领唱，要求这 3 人不能都是同一个部门的，且在
行政部门至少选 1 人，则不同的选取方法的种数为 A ．336
B ．340
C． 352
D ．472
10．在正方体 ABCD
A1B1C1D1 中，点 E 是棱 B1C1 的中点，点 F 是线段 CD1 上的一个动点．有以下 三个命题：
①异面直线 AC1 与 B1 F 所成的角是定值； ②三棱锥 B
A1 EF 的体积是定值；
③直线 A1F 与平面 B1CD1 所成的角是定值． 其中真命题的个数是
A ．3 B ．2 C． 1 D ．0
第 1 页 （共 6 页）
4
11． 2018 年，国际权威机构 IDC 发布的全球手机销售报告显示：华为突破
2 亿台出货量超越苹果
的出货量，首次成为全球第二，华为无愧于中国最强的高科技企业。华为业务 CEO 余承东明
确表示，华为的目标，就是在 2021 年前，成为全球最大的手机厂商．为了解华为手机和苹果
手机使用的情况是否和消费者的性别有关，
对 100 名华为手机使用者和苹果手机使用者进行统
计，统计结果如下表：
根据表格判断是否有
95%的把握认为使用哪种品牌手机与性别有关系，则下列结论正确的是
A ．没有 95%把握认为使用哪款手机与性别有关 B ．有 95%把握认为使用哪款手机与性别有关 C．有 95%把握认为使用哪款手机与性别无关 D ．以上都不对 2附：K
n( ad bc ) 2
( a b)( c d )(a c)(b d)
2
12．已知抛物线 C : x
8 y 的焦点为 F ，过点 ( 0 ， 2 ) 作斜率为 k ( k
0 ) 的直线 l 与抛物线 C 交 AF BF
于 A， B 两点，直线 AF，BF 分别交抛物线 C 与 M， N 两点，若
10 ，则
A ．1
B ．6
C． 2
D ． 3MF
NFk
2
二、填空题：本题共
4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 x y≥ 0
13．设 x，y 满足条件 x y ≥ 1 ，则 2x 3 y 的最小值为 y ≥
0
．
14．由曲线 y x3 ( x≥ 0 ) 与它在 x 1 处切线以及 x 轴所围成的图形的面积为
． 15．已知正方形 ABCD 的边长为 4，M 是 AD 的中点，动点 N 在正方形 ABCD 的内部或其边界移动，
并且满足 MN AN 0 ，则
NB NC 的取值范围是
．
16．已知数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn 1 是 an 和 Sn 的等比中项，设 bn ( 1)n (2n 1)an ，则数
列 { bn } 的前 60 项和为
．
理科数学试题
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答 。 22、 23 为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共
60 分 。
17．（ 12 分）
△ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，已知△ ABC 的面积为 3
b(b c a cos C) ．
6
（ 1）求 A ；
（ 2）若 b 1，c 3 ，求 cos(2C
) 的值．
6
18．（ 12 分） -
2018 年 12 月 18 日上午 10 时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放
40 周年大会． 40 年众
志成城， 40 年砥砺奋进， 40 年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．
会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放
40 年变化的老照片，并从众多照
片中抽取了 100 张照片参加 “改革开放 40 年图片展 ”，其作者年龄集中在 [ 25，85] 之间，根据
统计结果，做出频率分布直方图如下：
频率 /组距
0.035
0.030
0.025
0.020
0.015 0.010
0.005
年龄
25
35 45 55 65
75
85
（ 1）求这 100 位作者年龄的样本平均数 x 和样本方差 s2 （同一组数据用该区间的中点值作代
表）；
（ 2）由频率分布直方图可以认为，作者年龄
X 服从正态分布 N ( ,
2
)，其中
近似为样
本平均数 x ，
2
近似为样本方差 s2 ．
（ i ）利用该正态分布，求 P(60
X
73.4) ；
（ii ）央视媒体平台从年龄在
[ 45，55 ] 和 [ 65，75] 的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了
7 人参加“纪念改革开放
40 年图片展”表彰大会，现要从中选出
3 人作为代表发言，设这
3 位
发言者的年龄落在区间
[ 45，55] 的人数是 Y，求变量 Y 的分布列和数学期望．
附： 180
13.4 ，若 X ~ N (
, 2 ) ，则 P( X ) 0.683 ，
P(2
X
2 )
0.954
第 2 页 （共 6 页）
19．（ 12 分）
如图，在四棱台 ABCD
A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形， AA1 A1B1
（二）选考题：请考生在第 22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分
]（ 10 分） 。
1
AB 1 ， ABC 60 ，
22． [ 选修 4—4：坐标系与参数方程
2
AA1 平面 ABCD ．
（ 1）若点 M 是 AD 的中点，求证：
C1M // 平面 AA1B1B ；
（ 2）棱 BC 上是否存在一点 E，使得二面角 E AD1 D 的余弦值为
1
？若存在，求线段 CE
3
的长；若不存在，请说明理由．
20．（ 12 分）
已知平面直角坐标系内的动点
P 到直线 l1 : x 2 的距离与到点 F (1 ，0 ) 的距离比为 2 ．
（ 1）求动点 P 所在曲线 E 的方程；
（ 2）设点 Q 为曲线 E 与 y 轴正半轴的交点，过坐标原点
O 作直线 l ，与曲线 E 相交于异于
点 Q 的不同两点 M 、N ，点 C 满足 OC 2OQ ，直线 MQ 和 NQ 分别与以 C 为圆心， CQ 为半径 的圆相交于点 A 和点 B，求△ QAC 与△ QBC 的面积之比
的取值范围．
21．（ 12 分）
已知函数 f (x)
ax ln xx1
2
2
(a
a) x ．
2
（ 1 ）若 a 1 ，证明： f (x) 0 ；
（ 2 ）若 f (x) 只有一个极值点，求
a 的取值范围．
理科数学试题
已知曲线
x 2 cos C1 的参数方程为
(
为参数 )，以原点 O 为极点，以
x 轴的非负半轴为
y
3sin
极轴建立极坐标系，曲线
C2 的极坐标方程为
sin() 1 ．
4
（ 1）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（ 2）射线 OM ：
( ) 与曲线 C1 交于点 M，射线 ON ：
与曲线 C2 交于
2
4
点 N，求
1 2
1
2 的取值范围．
OM
ON
23． [ 选修 4—5：不等式选讲 ] （ 10 分）
设函数 f (x)
x 2a 2x(a 0) ．3
a
（ 1）若 g(a)
f (0) ，解不等式 g (a)≥ 5 ；
（ 2）求证： f ( x) ≥ 2 3 ．
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参考答案及评分标准
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。第 3 页 （共 6 页）
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