概率论与数理统计(理工类_第四版)吴赣昌主编课后习题答案第四章

设X1,X2,?,Xn,?为独立同分布的随机变量序列，已知E(Xi)=μ, D(Xi)=σ2(σ≠0), 证明：当

n充分大时，算术平均Xˉn=1n∑i=1nXi近似服从正态分布，并指出分布中的参数.

解答：

由独立同分布中心极限定理，得

limn→∞P{∑i=1nXi-nμnσ≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt,

即limn→∞P{1n∑i=1nXi-μσ2n≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt, 亦即limn→∞P{Xnˉ-μσ2n≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt. 于是，当n充分大时，有Xnˉ-μσ2n～?N(0,1), 而

E(Xnˉ)=μ,D(Xnˉ)=μ,D(Xnˉ)=σ2n,

故Xnˉ～?N(μ,σ2n)(n充分大时).