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习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端 分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定
2
滑轮的转动惯mr/2，将由两个定滑轮以及质量为均量为2m和m的重物组成 的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：
2mgT22ma┄① T1┄②
mgma (TT)rJ┄③ 2 (TT)
1
T
rJ┄④
2
Jmr┄⑤
/2
1 11
，Tmg
8 4
a，
r
联立，解得：ag
。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面 上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作 用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。
m
解：（1）设杆的线密度为： ，在杆上
l 取
一小质元dmdx，有微元摩擦力： dfdmggdx，
微元摩擦力矩：dMgxdx， 考虑对称性，有摩擦力矩：
l
1
M2gxdxmgl；
2 0
4 （2）根据转动定律
11
mgltml，∴
MJJ
412
或利用： MtJJ，考虑到0，
0
t 0 d MdtJd， ，有：
0 0 dt
l 0 2 。 t
3 g 0
1
Jml，
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2
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专业知识12
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l 。 g
有：0
t
3
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5-3．如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量 可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为
2
R,其转动惯M为量R/2，试求该物体由静止开始下落的过程中， 下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
mgTma┄① TR┄②
J
aR，
1 JmR┄③
2 2
2mgMmg
联立，解得：aT
，，M2mM2m
考虑到a dv ，∴
vt2mg dvdt
，有： v 2mgt 。dt
00 M2m M2m
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均 匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而 在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O
2
轴的转动惯量J/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬
MR
时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？ 解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
Mg
T1人 Ma
A
MM T2ga物
44 B
T1RTRJ滑轮2
2
由约束方程:aaRJ,解上述方程组
A和MR/4
B
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g 得到 a. 2 解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重
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du
物上升的速度，注意到u为匀速，0
，系统对轴的角动量为：
dt
1M3
LMvRM(uv)R(R)MvRMu 2
R
442
(B物体)(人)(A物体)
而力矩为： M
13 MgRMgRMgR， 44
根据角动量定理
dL3d3 Mdt4dt2 有：MgR(MvRMuR)，∴
5-5．计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。
解：设球的半径为R，总重量为m，体密度 3 m 4 R 3 ， 考虑均质球体内一个微元：
dmrdrdd，2
2sin sin 由定义：考虑微元到轴的距离为rsin
2
J(rsin)dm，有：
2R 22
J(rsin)rsindrdd
000
1
2 2 2r[(1cos)dcos]
5R2
5
mR。 5
0 0
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲 度系数k40N/m，当0时弹簧无形变，细棒的质量 m，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度
5.0kg
，才能转动到水平位置？
解：以图示下方的三角桩为轴，从 0
考虑机械能守恒，那么：
0~90时，
0时的机械能为： l11
mg(重力势能)（ml）(转动动能22
)，
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ga 2
。 WORD格式可编辑
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1 0 2 kx 90时的机械能为： 2
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l111 222 有：
mg（ml）kx
2232 22
21.51 根据几何关系：
(x0.5)，得：
3.28rads
1
5-7．如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若 盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。
解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒，
1 13 2 222 有：
mgRJ，而 JmRmRmR
22 2
4 g 4Rg 16 Rg
∴ vcR v2R
A 3 3 R 3
7
（2）2
Fmg（重力）mR（向心力）mg，方向向上。 y
3
5-8．如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕
．轻杆原1 2 和l 来 水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l
3 3
静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度 v与杆下端小球m作对
0
1 心碰撞，碰后以 v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速2 度。 0
解：根据角动量守恒，有：
2122ll
22
mvlmvlm()2m() 00
32333 4221 22 有：
(ll)vlvl
00
9933
∴
3v 0 2l
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5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘 与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中 心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止， 一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打 入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后， 盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止 转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为 1 2
MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 2
1 22
解：（1）利用角动量守恒： mvR MR mR
2
2mv 得： ； (2mM)R （2）选微分dmrdrd，其中：面密度
R
Mgrdmgr2πrdrMgR f
2 0
M2
M ， 2 R
∴由 MtJ有：
f 2M2m
知： tR
4Mg 将
2mv M2mR
R3 21
MgRt(MRmR)0， 32
22
3 mv 代入，即得： t
2 Mg
。
5-10．有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放 在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点 O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动 的质量为 m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端
2
A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后 的速度分别为 v和 v，如图所示。求碰撞后从细棒
1 开
2
始转动到停止转动的过程所需的时间。
1 2 (已知棒绕O点的转动惯量
Jml)
1
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3
1
和
专业知识v方向相反，以逆时针为正向，有：2
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解：由碰撞时角动量守恒，考虑到 v WORD格式可编辑
2
mvlmlmvl，得： ml 21122
1 3
又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
lm d ，利用 MJ ，有： 1 f 1 dt
Mgxdxmgl f1
0l
2
2l 2m(vv) 1 。 212 2 ，得： t
tmld 3
gmg 0
1 1
3
dt
1
0
mgl 1 2
2
5-11．如图所示，滑轮转动惯量为 0，半径为7cm；物体的质量为5kg， .01kgm
用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮 轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使 物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时 的位置及最大速率。
解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为 x。
max
1 2
由机械能守恒： kxmgx，有：
2 maxmax
； 2mg
x0.49m max
k
111 222 （2）当物体下落时，由机械能守恒：
kxmvJmgx， 222
v 111 2222 考虑到 ，有：
kxmRJmgx， R
222
，有： d
欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令0
dx
mg 1d d 2 代入，有：x0.245(m)， ，将0
kx(mRJ)2mg k dx 2dx
∴当x0.245m时物体速度达最大值，有：
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1
3 m2(vv) 12
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2 ，代入数值可算出： vmax1.31m/s。 2 1
mgxkx 2
1
J 2 (m) r
2
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v
max WORD格式可编辑
5-12．设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速 度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止
的电扇通电后t秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇 以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？ Mk，而动力矩MP， 解：（1）已知 f 通电时根据转动定律有： MMJ
d f J 02
dt
P
，可求得：(1e)
k P
稳定； k
2k ； J t
t
代入两边积分有：dtd
0Pk
（2）见上式，当t时，电扇稳定转动时的转速： （3）断开电源时，电扇的转速为 kJ
d dd
，考虑到 dt dtd
0
P
，只有Mf作用，那么： k
0 k
， dd ，有：
0 J 0
JJP
得： 。 0
kkk
5-13．如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，
细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮 的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转 动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物 体A运动后，细绳的张力多大？
解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、 绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
1 2 J mR J 0，又vR
A 2
A，
JRmv
1
3
（2）物体A运动后，由牛顿定律：Tmgma（1）
对转轮B，由定轴转动定律：TRJ，（2）约束关系：aR（3）
1 可求出： Tmg。 3
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0
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5-14.质量为m的小孩站在半径为R、转动惯量为J的可以自由转动的水平平台 边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。 当小孩突然一相对地面为v的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转 的角速度为多少？
mRv
解：此过程角动量守恒：mRvJ0，有：。
J
5-15．在半径为R的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在
1 处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度0匀
距转轴为R
2
速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v沿与盘转动相反方向作圆周运 动，如图所示．已知圆盘对中心轴的转动惯量为 1 2
R MR．求： 2
(1)圆盘对地的角速度．
(2)欲使圆盘对地静止，人应沿着R
1 圆周对圆盘的速 2
R/2
v
度v的大小及方向？
解：(1)设当人以速率v沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角 速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为
v2v
1 R 2
R
①
人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒．
设盘的质量为M，则人的质量为M/10，有：
1 M11M1
22 2 MRRMRR②
22
0
1022102
2v
将①式代入②式得： 0
21R
(2)欲使盘对地静止，则式③必为零．即0+2v/(21R)＝0 得：v＝－21R0/2
③
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方 向一致．
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2v 答案： ；v＝－21R0/2 0
21R
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方 向一致．
思考题
5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两 端分别悬有质量 m的物体( m< m)，如图所示，绳与轮之 m和
2 1 2 1
间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大？ 解：
m1gT1m1a（1） T222（2）
mgma
(T1T)（3）
rJ2 a（4）
r
联立方程可得 T、
1
TT。 T， 21 2
5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按
图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相 等方向相反但不在同一条直线的力F沿盘面方向同时作 用到盘上，则盘的角速度怎样变化？ 答：增大
5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人 把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A）机械能守恒，角动量守恒；（B）机械能守恒，角动量不守恒； （C）机械能不守恒，角动量守恒；（D）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C）
5-4．在边长为a的六边形顶点上，分别固定有质量都 是m的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴 的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内， 如图a所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面， 如图b所示。
2
答：以Ⅰ为轴转动惯量 J9ma；
2
以Ⅱ为轴转动惯量 J3ma；
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专业知识整理分享 以Ⅲ为轴转动惯量
J7.5ma。
2
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5-5．如图a所示，半径分别是 R和R2、转动惯量分别是J1和J2的两个圆柱体，
1 可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0，现在将小圆柱体向左 靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦 力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时， 两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
试问这种情况角动量是否守恒？为什么？小圆柱的最 终角速度多大？
答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由 J1J，有小圆柱的最终角速度为： 02
J
10
J 2
5-6．均质细棒的质量为M，长为L，开始时处于水平方位，静止于支点O上。 一锤子沿竖直方向在xd处撞击细棒，给棒的冲量为 Ij。试讨论细棒被球撞
0
击后的运动情况。
答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开 始往下运动，最后回到平衡位置。
。
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