人教A版高中数学选修2-1教案导学案
曲线与方程
【教学目标】
1.根据已知条件求平面曲线方程的基本步骤. 2.会根据已知条件求一些简单的平面曲线方程. 3.会判断曲线和方程的关系. 【教学重难点】
教学重点：求曲线方程的步骤：
（1）依据题目特点，恰当选择坐标系；
（2）用M（x,y)表示所求曲线上任意一点的坐标； （3）用坐标表示条件，列出方程F(x,y)=0； （4）化方程F(x,y)=0为最简形式；
（5）证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
教学难点：依据题目特点，恰当选择坐标系及考查曲线方程的点的纯粹性、完备性. 【教学过程】 一. 复习回顾：
二. 师：上一节，我们已经建立了曲线的方程.方程的曲线的概念.利用这两个重要概
念，就可以借助于坐标系，用坐标表示点，把曲线看成满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标（x,y）所满足的方程f(x,y)=0表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一节，我们就来学习这一方法. 三. 讲授新课
四. 1．解析几何与坐标法：
五. 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中，用坐标法研究
几何图形的知识形成了一门叫解析几何的学科.因此，解析几何是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.
六. 2．平面解析几何研究的主要问题：
七. （1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程； 八. （2）通过方程，研究平面曲线的性质. 九. 说明：本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.
3. 典型例题
例1．设两点的坐标是A（-1，2）、B（3，-4），求线段AB的垂直平分线的方程．
首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．
人教A版高中数学选修2-1教案导学案
解：(1)易求线段AB的中点坐标为（1，-1），由斜率关系可求得l的斜率为
3,2 所以直线的方程为2x?3y?5?0 这说明点的坐标是方程2x?3y?5?0的解． （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．设点M (m,n)的坐标是方程①的任意一解，M到A、B的距离分别为
MA?113(n2?2n?5)?MB，综合（1）、（2），①是所求直线的方程． 2变式训练： 证明到两定点A、B的距离是8，求到两定点距离平方和是50的动点的轨迹方程。
证明：1．建立合适的坐标系以AB所在的线段为X轴，中点为原点做y轴，则A的坐标为（-4，0）；B的坐标为（4，0） 设M(x,y)是圆上任意一点．由题意得：
AM?BM22?50?(x?4)应的点，
2?y2???(x?4)22
2
2?y2??50
22
2
x2?y2?92．设(x0，y0)是方程x+y=9的解，那么x0+y0=9．若M为(x0，y0)对
22MA?MB?(x0?4)2?y0?(x0?4)2?y0?2(x0?y0)?32?2?9?32?502222
这说明点M在曲线上，即方程的解为坐标的点在曲线上。 由1、2可知，x+y=9是以坐标原点为圆心，半径等于3的圆的方程．
注：
用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C上．
2
2
三．小结：曲线C和二元方程f(x，y)=0应具备以下两个条件：1．若
P(x0，y0)∈C，则f(x0，y0)=0成立；2．若f(x0，y0)=0，则P(x0，y0)∈C 用“曲线的方程”和“方程的曲线”的定义来证明已知曲线C的方程是f(x，y)=0．证明中分两个步骤：第一步，设M(x0，y0)是曲线C上任一点，证明(x0，y0)是f(x，y)=0的解；第二步，设(x0，y0)是f(x，y)=0的解，证明点M(x0，y0)在曲线C
四.作业：课后习题
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