大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每小题5分）

y(x?y)ln(1?)xdxdy?16/15，1．计算??其中区域D由直线x?y?1与两坐标轴所围成

D1?x?y三角形区域.

?01?解: 令x?y?u,x?v，则x?v,y?u?v，dxdy?det??1?1??dudv?dudv，

????10u2du （*） 1?u令t?1?u，则u?1?t2

du??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t2(1?t)(1?t)，

2．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x??f(x)dx?2, 则f(x)?____________.

202解: 令A??f(x)dx，则f(x)?3x2?A?2，

02A??20(3x2?A?2)dx?8?2(A?2)?4?2A,

解得A?410。因此f(x)?3x2?。 33x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________. 3．曲面z?2x2?y2?2在(x0,y0)处解: 因平面2x?2y?z?0的法向量为(2,2,?1)，而曲面z?2的法向量为(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)，故(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)与(2,2,?1)平行，因此，由zx?x，zy?2y知2?zx(x0,y0)?x0,2?zy(x0,y0)?2y0，

即x0?2,y0?1，又z(x0,y0)?z(2,1)?5，于是曲面2x?2y?z?0在

(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x?2)?2(y?1)?(z?5)?0，即曲面

x2z??y2?2平行平面

22x?2y?z?0的切平面方程是2x?2y?z?1?0。

4．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

d2y

?________________. dx2

解: 方程xef(y)?eyln29的两边对x求导，得

因eyln29?xef(y)，故

11，因此 ?f?(y)y??y?，即y??x(1?f?(y))xex?e2x???enxx)，其中n是给定的正整数. 二、（5分）求极限lim(x?0ne解 :因

故

因此

三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)??f(xt)dt，且lim01x?0f(x)?A，A为常数，求g?(x)并x讨论g?(x)在x?0处的连续性.

解 : 由limx?0f(x)f(x)?A和函数f(x)连续知，f(0)?limf(x)?limxlim?0

x?0x?0x?0xx因g(x)??f(xt)dt，故g(0)??f(0)dt?f(0)?0，

00111x因此，当x?0时，g(x)??f(u)du，故

x0当x?0时，

g?(x)??1x2?x0f(u)du?f(x)， x这表明g?(x)在x?0处连续.

四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：

（1）?xesinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；

LL5（2）?xesinydy?ye?sinydx??2.

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