专题7：几何辅助线(图)作法探讨

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（1）求证：DE是半圆的切线；

（2）连接OD，当OC=BC时，判断四边形ODFA的形状，并证明你的结论。

4. （2011四川巴中10分） 如图所示，△ABC的外接圆圆心O在AB上，点D是BC延长线上一点，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的ND边的中线． (1)求证：△ABC≌△DNC；

(2)试判断CP与⊙O的位置关系，并证明你的结论。

5. （2011广东河源9分） 如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC。将△ACD沿对角线AC翻折后，点D恰好与边AB的中点M重合． (1)点C是否在以AB为直径的圆上?请说明理由; (2)当AB=4时，求此梯形的面积．

三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。

典型例题：

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例2.（2012广西柳州3分）已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直 线形成的夹角的余弦值为225 （即cosC=5），则AC边上的中线长是 ▲ ． 55【答案】585a或a。 1010【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】分两种情况： ①△ABC为锐角三角形时，如图1，BE为AC边的中线。 作△ABC的高AD，过点E作EF⊥BC于点F。 ∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=25， 5∴CD=255a，AD=a。 55∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=

535a。。∴BC=BD+CD=a。 5551DC=a，25∵点E是AC的中点，EF∥AD，∴EF是△ACD的中位线。∴FC=

EF=

51AD=a。 21021世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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∴BF=在

25a。 5Rt△BEF

中

，

22由勾股定

2理，得

B?E2??2B?2?F?5?????E????5F??1?0157。a 280a150=a=②△ABC为钝角三角形时，如图2，BE为AC边的中线。 作△ABC的高AD。

∵在Rt△ACD中，AC=a，cosC=25， 5∴CD=255a，AD=a。 55∵在Rt△ABD中，∠ABD=45°，∴BD=AD=

55a。∴BC= BD=a。 5551AD=a。 210∵点E是AC的中点，∴BE是△ACD的中位线。∴BE=

综上所述，AC边上的中线长是585a或a。 1010例3. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使

点C与点A重 合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则

【 】 MN的值为BM

A．2 【答案】D。

【考点】翻折变换（折叠问题），折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】过点N作NG⊥BC于G，由四边形ABCD是矩形，易得四边形CDNG是矩形，又

B．4 C．25 D．26 21世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 版权所有@21世纪教育网

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由折叠的性质，可得四边形AMCN是菱形，由△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，根据等高三角形的面积比等于对应底的比，可得DN：CM=1：4，然后设DN=x，由勾股定理可求得MN的长，从而求得答案：

过点N作NG⊥BC于G，

∵四边形ABCD是矩形，∴四边形CDNG是矩形，AD∥BC。 ∴CD=NG，CG=DN，∠ANM=∠CMN。

由折叠的性质可得：AM=CM，∠AMN=∠CMN，∴∠ANM=∠AMN。 ∴AM=AN。∴AM=CM，∴四边形AMCN是平行四边形。 ∵AM=CM，∴四边形AMCN是菱形。

∵△CDN的面积与△CMN的面积比为1：4，∴DN：CM=1：4。 设DN=x，则AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。∴BM=x，GM=3x。 在Rt△CGN中，NG?CN2?CG2?在Rt△MNG中，MN?GM?NG?22?4x?2?x2?15x， ?3x?2??15x=26x， ?2∴MN26x==26。故选D。 BMx0

0例4.（2012北京市5分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90，∠CED=45，∠DCE=90，DE=2，BE=22．求CD的长和四边形ABCD的面积．

0 【答案】解：过点D作DH⊥AC， ∵∠CED=45°，DH⊥EC，DE=2，∴EH=DH=1。 又∵∠DCE=30°，∴DC=2，HC=3。 ∵∠AEB=45°，∠BAC=90°，BE=22， ∴AB=AE=2。∴AC=2+1+3 =3+3。 ∴S四边形ABCD?119?33?2?（3?3）??1?（3?3）? 。 222【考点】勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，

【分析】利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所

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