②过点E作EH⊥BD，则EH为△COD的中位线， ∴
，
∵DQ=x， ∴BQ=2﹣x，
∴y=S△BPQ+S△BEQ=×（2﹣x）（﹣2
x）+×（2﹣x）×
，
=
；（3分）
（2）能成为梯形，分三种情况：
①当PQ∥BE时，∠PQO=∠DBE=30°， ∴， 即，
∴x=，
此时PB不平行QE，
∴x=时，四边形PBEQ为梯形．（2分） ②当PE∥BQ时，P为OC中点，
∴AP=，即
，
∴
，
此时，BQ=2﹣x=≠PE，
∴x=时，四边形PEQB为梯形．（2分）
- 9 -
③
当EQ∥BP时，过E作EH⊥DO，垂足为H， ∴△QEH∽△BPO， ∴
，
∴，
∴x=1（x=0舍去），
此时，BQ不平行于PE， ∴x=1时，四边形PEQB为梯形．（2分）
综上所述，当x=、或1时，以P，B，E，Q为顶点的四边形是梯形．
8．（10分）（2008?乌鲁木齐）如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上． （1）求∠ACB的大小；
（2）写出A，B两点的坐标； （3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
解答：解：（1）作CH⊥x轴，H为垂足， ∵CH=1，半径CB=2，
- 10 -
∵∠BCH=60°， ∴∠ACB=120°．
（2）∵CH=1，半径CB=2 ∴HB=，故A（1﹣，0）， B（1+，0）．
（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为（1，3）
2
设抛物线解析式y=a（x﹣1）+3，
把点B（1+，0）代入上式，解得a=﹣1；
2
∴y=﹣x+2x+2．
（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形 ∴PC∥OD且PC=OD． ∵PC∥y轴， ∴点D在y轴上． 又∵PC=2， ∴OD=2，即D（0，2）．
2
又D（0，2）满足y=﹣x+2x+2， ∴点D在抛物线上
所以存在D（0，2）使线段OP与CD互相平分．
9．（10分）如图，抛物线
交x轴于点A、B，交y轴于点C，连接AC，BC，D是线段OB上一动点，
以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连接BF，交DE于点P． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求证：BF⊥AB； （3）连接CP，记△CPF的面积为S1，△CPB的面积为S2，若S=S1﹣S2，试探究S的最小值．
解答：（1）解：令x=0，得y=4， ∴C（0，4），
令y=0，得x1=4，x2=﹣4， ∴A（﹣4，0），B（4，0）， ∴OA=OB=OC，
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∴△ABC是等腰直角三角形；
（2）证明：如图，∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形， ∴AC=BC，CD=CF，∠ACD=∠BCF， ∴△ACD≌△BCF， ∴∠CBF=∠CAD=45°， ∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°， ∴BF⊥AB．
（3）解：∵∠CDE=90°， ∴∠CDO+∠PDB=90°， ∵∠CDO+∠DCO=90°， ∴∠DCO=∠PDB， ∴△DCO∽△PDB， ∴
，
，
设OD=x，BP=y，则∴
，
∵BF=AD=4+x， ∴∴
∴当OD=x=1时，S有最小值7．
，
=x﹣2x+8=（x﹣1）+7，
2
2
10．（10分）已知二次函数y=﹣x+（k+1）x﹣k的图象经过一次函数y=﹣x+4的图象与x轴的交点A．（如图） （1）求二次函数的解析式；
（2）求一次函数与二次函数图象的另一个交点B的坐标；
（3）若二次函数图象与y轴交于点D，平行于y轴的直线l将四边形ABCD的面积分成1：2的两部分，则直线l截四边形ABCD所得的线段的长是多少？（直接写出结果）
2
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