(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数(一)(含解析)

2019-2020年高考数学大题专题练习——三角函数（一）

1. 【山东肥城】已知函数f(x)?2sin2x?2sin2(x?)，x?R.

6（1）求函数y?f(x)的对称中心；

（2）已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且

f(B?b?c，?ABC的外接圆半径为3，求△ABC周长的最大值. ?)?262a?

【解析】

????f(x)?1?cos2x??1?cos2(x?)??cos(2x?)?cos2x6?3??13cos2x?sin2x?cos2x 22?31?sin2x?cos2x?sin(2x?). 226（1）令2x??6?k?（k?Z），则x?k???（k?Z）， 212所以函数y?f(x)的对称中心为(k???,0)k?Z； 212（2）由f(31b?cB?b?c?b?csinB?cosB?，得sin(B?)?，即， ?)?222a262a62a整理得3asinB?acosB?b?c，

由正弦定理得：3sinAsinB?sinAcosB?sinB?sinC， 化简得3sinAsinB?sinB?cosAsinB， 又因为sinB?0，

所以3sinA?cosA?1，即sin(A?由0?A??，得?所以A??6)?1， 2?6?A??6?5?， 6?6??6，即A??3，

又?ABC的外接圆的半径为3， 所以a?23sinA?3，由余弦定理得

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3(b?c)22a?b?c?2bccosA?b?c?bc?(b?c)?3bc?(b?c)?(b?c)?44，即b?c?6，

2222222当且仅当b?c时取等号，所以周长的最大值为9.

2.【河北衡水】已知函数f?x??2asinxcosx?2bcos2x?c?a?0,b?0?，满足

?5???f???0，且当x??0,??时，f?x?在x?取得最大值为.

62?2?（1）求函数f?x?在x??0,??的单调递增区间；

（2）在锐角△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

a2?b2?c23的取值范围. f?C??，求2a?b2?c22

【解析】

（1）易得f?x??5???5????2??sin?2x???，整体法求出单调递增区间为?0,?，?,??； 3?6?6?6??3?a2?b2?c22a2?2b2?ab?ba??2?（2）易得C?，则由余弦定理可得2????1，

a?b2?c2ab3?ab???2??sin??A?bsinB31?1??3???由正弦定理可得????,2?，所以asinAsinA2tanA2?2?a2?b2?c2??3,4?.

a2?b2?c2

r?1?r3.【山东青岛】已知向量a??cosx,??，b?(3sinx,cos2x)，x?R，设函数

2??rrf(x)?a?b.

（1）求f(x)的最小正周期； （2）求函数f(x)的单调递减区间；

???

（3）求f(x)在?0,?上的最大值和最小值.

?2?

2

【解析】

1?? f(x)??cosx,???(3sinx,cos2x)

2??1?3cosxsinx?cos2x

2?31sin2x?cos2x 22?cos?6sin2x?sin?6cos2x

????sin?2x??.

6??（1）f(x)的最小正周期为T?（2）函数y?sin(2x?2???2???，即函数f(x)的最小正周期为?. 2?6)单调递减区间：

?2?2k??2x??6?3??2k?，k?Z， 2得：

?3?k??x?5??k?，k?Z， 65?????k?,?k??，k?Z.

6?3?∴所以单调递减区间是?（3）∵0?x?∴??2?，

?6?2x??65?. 6由正弦函数的性质， 当2x?当2x?当2x??6??2，即x??3时，f(x)取得最大值1.

?6???6，即x?0时，f(0)??1， 2?5???，即x?时，662

1. 2???1f???， ?2?2∴f(x)的最小值为?因此，f(x)在?0,1???上的最大值是，最小值是. ?1?2?2? 3

4.【浙江余姚】已知函数f(x)?sin2x?sinxcos(x?).

6（1）求函数f(x)的最小正周期；

???

（2）求f(x)在?0,?上的最大值和最小值．

?2?

?

【解析】

???（1）由题意得f(x)?sin2x?sinxcos?x??

6???sin2x?sinx(???31cosx?sinx) 22323sinx?sinxcosx 2233(1?cos2x)?sin2x 443133(sin2x?cos2x)? 2224?3?3sin(2x?)? 234?f(x)的最小正周期为? ???（2）?x??0,?，

?2????3?2x??3?2? 3，即x?0时，f(x)min?0；

?当2x?当2x??3????3?3?2，即x?23?35?时， f(x)max?

412综上，得x?0时，f(x)取得最小值，为0； 当x?

23?35?时，f(x)取得最大值，为

412

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5.【山东青岛】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosA?（1）求cosB；

（2）如图，D为△ABC外一点，若在平面四边形ABCD中，?D?2?B，且AD?1，CD?3，BC?6，求AB的长．

【解析】

解：（1）在?ABC中，由正弦定理得sinBcosA?3a?c． 33sinA?sinC， 3又C???(A?B)，所以sinBcosA?3sinA?sin(A?B)， 3故sinBcosA?3sinA?sinAcosB?cosAsinB， 33sinA， 33 3所以sinAcosB?又A?(0,?)，所以sinA?0，故cosB?2（2）Q?D?2?B，?cosD?2cosB?1??又在?ACD中， AD?1， CD?3

1 313∴由余弦定理可得AC?AD?CD?2AD?CD?cosD?1?9?2?3?(?)?12， ∴AC?23， 在?ABC中， BC?2226， AC?23， cosB?2223， 3∴由余弦定理可得AC?AB?BC?2AB?BCcosB， 即12?AB?6?2?AB?6?故AB的长为32．

232，化简得AB?22AB?6?0，解得AB?32． 3

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