第11题图
12. (2019鄂州10分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分线，
以O为圆心，OC为半径作⊙O.
(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D， tanD＝1
2
，
(3)在(2)的条件下，
设⊙O的半径为3，
求AB的长．
AO是△ABC的角平
求AE
AC
的值；1．(1)证明：如解图，
连接OA，
第12题图
【答案】
第1题解图
∵CE⊥AB，∴AD＝BD＝2，∴∠ACE＝∠BCE，∴∠BOE＝∠ACB；1(2)解：∵cos∠ACB＝，
31
∴cos∠BOD＝，
3在Rt△BOD中，∵OD＋BD＝OB，∴x＋2＝(3x)，32∴OB＝3x＝，
232
即⊙O的半径为；
2(3)证明：∵FE＝2OE，92∴OF＝3OE＝，
2
2
2
2
2
2
2
?AE?BE
，
∠AOE＝∠BOE，
又∵∠AOB＝2∠ACB，
设OD＝x，则OB＝3x，
2解得x＝，
2
OB1∴＝，OF3OD1∵＝，OB3OBOD∴＝，OFOB
∵∠BOF＝∠DOB，∴△OBF∽△ODB，
∴∠OBF＝∠ODB＝90°，∵OB是⊙O的半径，∴BF是⊙O的切线．2．(1)证明：如解图，
即OB⊥BF，
连接DO，交AE于点G，则DO＝BO，
∴∠ABD＝∠ODB，∵
?ADDE
?，
∴∠ABD＝∠EBD，∴∠ODB＝∠EBD，∴DO∥BC，∴∠ODF＝∠CFD，∵DF⊥BC，∴∠CFD＝90°，∴∠ODF＝90°，
即OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，∴DF是⊙O的切线；
(2)解：△DEC是等腰三角形，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠CDB＝90°，又∵BD＝BD，∠ABD＝∠EBD，
∴△ABD≌△CBD(ASA)，
∴AD＝CD. ∵
?ADDE
?，
∴AD＝DE，∴CD＝DE，
∴△DEC是等腰三角形；
(3)解：由(2)可知AD＝1
2
AC＝6，
第2题解图
理由如下：
∵
?ADDE
?，
∴OD⊥AE，∠ABD＝∠DAE，
∴sin∠DAE＝DGAD
.
在Rt△ADB中， sin∠ABD＝AD6
AB＝10
，
∴
DG6
6＝
10
，∴DG＝3.6，
∴OG＝OD－DG＝1.4，
∴在Rt△AGO中， sin∠EAB＝OG1.47OA
＝5＝25.
3．(1)解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，
∴∠CDE＝90°；………………………………………………
第3题解图
(2)证明：如解图，连接OD，
∵∠CDE＝90°，F为CE中点，
∴DF＝1
2CE＝CF，
∴∠FDC＝∠FCD. 又∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，
∴∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠FCD，∴∠ODF＝∠OCF，∵EC⊥AC，∴∠OCF＝90°，∴∠ODF＝90°，
即OD⊥DF，
又∵OD为⊙O的半径，
分)
(2
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