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层级快练(三十六)
1．(2018·海南三亚一模)在数列1，2，7，10，13，…中，219是这个数列的第( )项．( ) A．16 C．26 答案 C
解析 设题中数列{an}，则a1＝1＝1，a2＝2＝4，a3＝7，a4＝10，a5＝13，…，所以an＝3n－2.B．24 D．28
令3n－2＝219＝76，解得n＝26.故选C. 2．设数列{a2
n}的前n项和Sn＝n，则a8的值为( ) A．15 B．16 C．49 D．64
答案 A
解析 a2
2
1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n－(n－1)＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A. 3．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2 017等于( ) A．2 017×2 018 B．2 016×2 017 C．2 015×2 016 D．2 017×2 017
答案 B
解析 累加法易知选B.
4．已知数列{x2112
n}满足x1＝1，x2＝3，且xn－1＋xn＋1＝xn(n≥2)，则xn等于( )
A．(2n－1
B．(2n
3)
3)
C.n＋1
2
D.2n＋1
答案 D
解析 由关系式易知??1??xn??
为首项为111n＋12
x1＝1，d＝2的等差数列，xn＝2，所以xn＝n＋1.
5．已知数列{a1
n}中a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2)，则an＝( )
A．2－(1)n－1
B．(1n2
2)－1
－2
C．2－2
n－1
D．2n
－1
答案 A
解析 设a11n－11n－1
n＋c＝2(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)(2)＝－(2)，所以选A.
6．若数列{a＝3
n}的前n项和为Sn2
an－3，则这个数列的通项公式an＝( )
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A．2(n＋n＋1) C．3·2 答案 B
解析 an＝Sn－Sn－1，可知选B.
n
2
B．2·3 D．3n＋1
n
7．(2018·云南玉溪一中月考)已知正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，则a6的值为( ) A．22 C．8 答案 B
解析 因为正项数列{an}中，a1＝1，a2＝2，2an＝an＋1＋an－1(n≥2)，所以an－an－1＝an＋1－an(n≥2)，所以数列{an}是以1为首项，a2－a1＝3为公差的等差数列，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以a6＝16.又因为an>0，所以a6＝4，故选B.
17*
8．(2018·华东师大等四校联考)已知数列{an}满足：a1＝，对于任意的n∈N，an＋1＝an(1－an)，则a1 413
72－a1 314＝( ) 2
A．－
73C．－
7答案 D
1716373467613
解析 根据递推公式计算得a1＝，a2＝××＝，a3＝××＝，a4＝××＝，…，可以归纳通
7277727772777633
项公式为：当n为大于1的奇数时，an＝；当n为正偶数时，an＝.故a1 413－a1 314＝.故选D.
7779．(2018·湖南衡南一中段考)已知数列{an}，若a1＝2，an＋1＋an＝2n－1，则a2 016＝( ) A．2 011 C．2 013 答案 C
解析 因为a1＝2，故a2＋a1＝1，即a2＝－1.又因为an＋1＋an＝2n－1，an＋an－1＝2n－3，故an＋1－an－1＝2，所以a4－a2＝2，a6－a4＝2，a8－a6＝2，…，a2 016－a2 014＝2，将以上1 007个等式两边相加可得a2 016－a2＝2×1 007＝2 014，所以a2 006＝2 014－1＝2 013，故选C.
1
10．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝an＋，则通项公式an＝________．
n（n＋1）1
答案 4－ n
11
解析 原递推式可化为an＋1＝an＋－，
nn＋1
B．2 012 D．2 014 2B. 73D. 7
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
B．4 D．16
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1111
则a2＝a1＋－，a3＝a2＋－，
12231111
a4＝a3＋－，…，an＝an－1＋－.
34n－1n
11
逐项相加，得an＝a1＋1－.又a1＝3，故an＝4－. nn11．已知数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝1
答案 an＝
3n－2
解析 由已知，可得当n≥1时，an＋1＝
an
. 3an＋1
an*
(n∈N)，则数列{an}的通项公式为________． 3an＋1
13an＋11
两边取倒数，得＝＝＋3.
an＋1anan即
1111
－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列． an＋1anana1
11
则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
ana11
所以数列{an}的通项公式为an＝.
3n－2
12．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________． 答案 2·3
n－1
－1
解析 设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.
∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列． ∴an＝2·3
n－1
－1.
n＋1
13．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2答案 (2n－1)·2 解析 ∵a1＝2，an＝2an－1＋2∴
n＋1
n
(n≥2)，则an＝________．
(n≥2)，
anan－1an＝＋2.令bn＝，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1. 2n2n－12n
n
∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2.
12
14．已知数列{an}的首项a1＝，其前n项和Sn＝nan(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________．
21
答案 an＝ n（n＋1）12
解析 由a1＝，Sn＝nan，①
2∴Sn－1＝(n－1)an－1.②
①－②，得an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1，
2
2
2
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即an＝nan－(n－1)an－1，亦即∴
22
ann－1
＝(n≥2)． an－1n＋1
ananan－1a3a2n－1n－2n－3212＝··…··＝···…··＝. a1an－1an－2a2a1n＋1nn－143n（n＋1）
1∴an＝. n（n＋1）
2anan＋1*
15．(2017·太原二模)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝(n∈N)，则an＝________．
n（n＋1）答案
n 3n－2
2anan＋111211111
解析 由an－an＋1＝得－＝＝2×(－)，则由累加法得－＝2(1－)，
n（n＋1）an＋1ann（n＋1）nn＋1ana1n113n－2n
又因为a1＝1，所以＝2(1－)＋1＝，所以an＝.
annn3n－2
nain＋1*
16．(2018·河北唐山一中模拟)已知首项为7的数列{an}满足i∑＝22i－1＝3(n∈N)，则数列{an}的通项公式为________．
??7（n＝1），答案 an＝?
?6n（n≥2），?
n－1ainaiannn＋1nn
解析 当n≥2时，? ＝3，又? ＝3，两式相减，得＝2×3，所以an＝6.由于a1
2i－12i－12n－1i＝2i＝2
??7（n＝1），
＝7不符合an＝6，所以数列{an}的通项公式为an＝?
?6n（n≥2）.?
n
17．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若数列{bn}满足：an＝
b1b2b3bn
＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式． 3＋132＋133＋13n＋1
n
*
答案 (1)an＝2n (2)bn＝2(3＋1)
解析 (1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式， ∴数列{an}的通项公式为an＝2n.
b1b2b3bn
(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)，①
3＋132＋133＋13n＋1b1b2b3bnbn＋1
∴an＋1＝＋＋＋…＋＋.②
3＋132＋133＋13n＋13n＋1＋1bn＋1n＋1
②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3＋1)．
3n＋1＋1故bn＝2(3＋1)(n∈N)．
n
*
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1．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是( )
A．2 016 C.1
2 016
B．2 015 D.1
2 015
答案 D
解析 如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝
a1a2
，第2次运行后得到a3＝，…，第na1＋1a2＋1
anan
次运行后得到an＋1＝，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2 015项．将an＋1＝变形为
an＋1an＋1111111
＝＋1，故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，所以输出结果是.an＋1ananann2 015故选D.
2．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an，则数列{an}的通项公式an＝________． n（n－1）答案 2 2
an＋1na2a32anan1n－11＋2＋…＋(n－1)解析 由于＝2，故＝2，＝2，…，＝2，将这n－1个等式叠乘，得＝2
ana1a2an－1a1n（n－1）n（n－1）
＝2，故an＝2. 22
a1a2a3an－13．已知Sn为数列{an}的前n项，＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，且a1＝2，则{an}的通项公式为
234n________． 答案 an＝n＋1
a1a2a3an－1a1a1a2a3
解析 ∵＋＋＋…＋＝an－2(n≥2)，∴当n＝2时，＝a2－2，解得a2＝3.＋＋＋…
234n2234＋
an－1ananan＋1anan＋1ana2＋＝an＋1－2，＝an＋1－2－(an－2)(n≥2)，得＝(n≥2)，∴＝＝…＝nn＋1n＋1n＋2n＋1n＋2n＋13
n
＝1，∴an＝n＋1(n≥2)，当n＝1时也满足，故an＝n＋1.
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