c2cm
所以，离心率e＝＝＝＝2－1.
a2a?1＋2?m
14.3
解析 设直线l为抛物线的准线，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B1为垂足，
|AE|1→→
过B作BE垂直于AA1与E，则|AA1|=|AF|，|BB1|=|BF|，由AF＝3FB，∴cos∠BAE＝＝，
|AB|2
∴∠BAE＝60°，∴tan∠BAE＝3. 即k＝3. 15．－p2 16．2
解析 设点A，B的横坐标分别是x1，x2，则依题意有焦点F(1,0)，|AF|＝x1＋1＝2， x1＝1，直线AF的方程是x＝1，故|BF|＝|AF|＝2.
x2y2
17．解 由椭圆方程为＋＝1，知长半轴长a1＝3，短半轴长b1＝2，焦距的一半
94
2c1＝a21－b1＝5，
∴焦点是F1(－5，0)，F2(5，0)，因此双曲线的焦点也是F1(－5，0)，F2(5，0)，
x2y2
设双曲线方程为2－2＝1 (a>0，b>0)，由题设条件及双曲线的性质，
ab
c＝5??c＝a＋b得?c5＝??a2
2
2
2
x22
故所求双曲线的方程为－y＝1.
4
18．解 设A、B的坐标分别为A(x1，y1)、B(x2，y2)． 由椭圆的方程知a2＝4，b2＝1，c2＝3，∴F(3，0)． 直线l的方程为y＝x－3. ①
x22
将①代入＋y＝1，化简整理得
4
2
5x－83x＋8＝0，
838
∴x1＋x2＝，x1x2＝，
55
∴|AB|＝?x1－x2?2＋?y1－y2?2
8883?2
＝1＋1?－4×＝.
55?5?
19．解 设动点M的坐标为(x，y)． 设∠MAB＝β，∠MBA＝α，即α＝2β，
2tan β
∴tan α＝tan 2β，则tan α＝. ①
1－tan2β
yy
(1)如图(1)，当点M在x轴上方时，tan β＝，tan α＝，
x＋12－x
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y>0)； (2)如图(2)，当点M在x轴的下方时，
－y－y
tan β＝，tan α＝，
x＋12－x
将其代入①式并整理得3x2－y2＝3 (x>0，y<0)；
?a＝?
，解得?
??b＝1
，
(3)当点M在x轴上时，若满足α＝2β，M点只能在线段AB上运动(端点A、B除外)， 只能有α＝β＝0.
综上所述，可知点M的轨迹方程为3x2－y2＝3(右支)或y＝0 (－1 →→ ∴ PA＝(－x，－2－y)，PB＝(－x，4－y)． →→则 PA·PB＝(－x，－2－y)·(－x,4－y) 22 ＝x＋y－2y－8. ∴y2－8＝x2＋y2－2y－8，∴x2＝2y. (2)证明 将y＝x＋2代入x2＝2y， 得x2＝2(x＋2)， 即x2－2x－4＝0，且Δ＝4＋16>0， 设C、D两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则有x1＋x2＝2，x1x2＝－4. 而y1＝x1＋2，y2＝x2＋2， ∴y1y2＝(x1＋2)(x2＋2) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＝4， y1y2y1y2∴kOC·kOD＝·＝＝－1， x1x2x1x2 ∴OC⊥OD. 21．解 (1)将(1，－2)代入y2＝2px，得(－2)2＝2p·1， 所以p＝2. 故所求的抛物线C的方程为y2＝4x， 其准线方程为x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l， 其方程为y＝－2x＋t. ??y＝－2x＋t，由?2得y2＋2y－2t＝0. ?y＝4x? 因为直线l与抛物线C有公共点， 1 所以Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－. 2 5 另一方面，由直线OA到l的距离d＝ 5 |t|1 可得＝，解得t＝±1. 55 11 因为－1?[－，＋∞)，1∈[－，＋∞)， 22 所以符合题意的直线l存在，其方程为2x＋y－1＝0. x2y2 22．解 (1)设椭圆C的方程为2＋2＝1 (a>b>0)． ab 2 抛物线方程可化为x＝4y，其焦点为(0,1)， 则椭圆C的一个顶点为(0,1)，即b＝1. a2－b225c 由e＝＝＝. aa25 x22 得a＝5，所以椭圆C的标准方程为＋y＝1. 5 (2)易求出椭圆C的右焦点F(2,0)， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(0，y0)，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 x22 y＝k(x－2)，代入方程＋y＝1， 5 得(1＋5k2)x2－20k2x＋20k2－5＝0. 20k2－520k2 ∴x1＋x2＝，xx＝. 1＋5k2121＋5k2→→ 又 MA＝(x1，y1－y0)，MB＝(x2，y2－y0)， →→ FA＝(x1－2，y1)，FB＝(x2－2，y2)． →→→→∵ MA＝mFA＝m， MB＝nFB， x1x2∴m＝，n＝， x1－2x2－2 2x1x2－2?x1＋x2? ∴m＋n＝， 4－2?x1＋x2?＋x1x2 40k2－10－40k2 又2x1x2－2(x1＋x2)＝ 1＋5k210＝－， 1＋5k24－2(x1＋x2)＋x1x2 2 －140k220k－5 ＝4－， 2＋2＝1＋5k1＋5k1＋5k2∴m＋n＝10. 2
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